Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
a_{n}=\tan \left(\frac{2 \pi n}{1+10 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\tan\!\left(\frac{2\pi n}{1+10n}\right)
converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o limite. A informação dada é apenas a fórmula explícita da sequência para cada n.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do argumento da tangente quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\frac{2\pi n}{1+10n}=\frac{2\pi}{\dfrac{1}{n}+10}.
Como \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty, o argumento converge para
\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi n}{1+10n}=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}.

Passo 3

Agora usemos uma ideia de análise: se x_n\to x e f é contínua em x, então f(x_n)\to f(x). A função \tan é contínua em todos os pontos que não são da forma \tfrac{\pi}{2}+k\pi para algum k\in\mathbb{Z}. Como
\frac{\pi}{5}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z},
a função \tan é contínua em \tfrac{\pi}{5}. Portanto podemos aplicar a regra da composição e concluir que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\tan\!\left(\frac{2\pi n}{1+10n}\right)=\tan\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi n}{1+10n}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right).

Passo 4

Conclusão parcial (já essencial): a sequência \{a_n\} converge e o seu limite é \tan\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right).

Passo 5

Opcionalmente podemos dar uma forma fechada exata para \tan\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right). Usando valores trigonométricos conhecidos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}, \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.
Logo
\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{5}\right)}{\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)} =\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}.
Fazendo álgebra (racionalizando ou simplificando) obtemos a forma mais compacta
\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{5-2\sqrt{5}}.

Passo 6

Como verificação numérica rápida,
\sqrt{5-2\sqrt{5}}\approx0,7265425,
o que é consistente com o valor numérico de \tan(36^\circ). Portanto tudo bate: a sequência converge para esse número.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\tan\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\approx0,7265425

Exercícios relacionados