Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o limite. A informação dada é apenas a fórmula explícita da sequência para cada
.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do argumento da tangente quando
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Como
quando
, o argumento converge para
Passo 3
Agora usemos uma ideia de análise: se
e
é contínua em
, então
. A função
é contínua em todos os pontos que não são da forma
para algum
. Como
a função
é contínua em
. Portanto podemos aplicar a regra da composição e concluir que
Passo 4
Conclusão parcial (já essencial): a sequência
converge e o seu limite é
.
Passo 5
Opcionalmente podemos dar uma forma fechada exata para
. Usando valores trigonométricos conhecidos:
Logo
Fazendo álgebra (racionalizando ou simplificando) obtemos a forma mais compacta
Passo 6
Como verificação numérica rápida,
o que é consistente com o valor numérico de
. Portanto tudo bate: a sequência converge para esse número.
Resposta
A sequência converge e