Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
h) * a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado fornece a sequência a_{n} definida por
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}.
A pergunta é: determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o seu limite.

Passo 2

Lembrando a definição e uma propriedade básica de fatorial: para todo inteiro m\ge1,
m! = m\cdot (m-1)!.
Isto significa que podemos expandir um fatorial maior em termos de um menor multiplicado por alguns fatores à frente.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao fatorial do denominador (2n+1)!, temos
(2n+1)! = (2n+1)\cdot (2n)\cdot (2n-1)!.
Substituindo isso em a_{n} obtém-se cancelamento do (2n-1)!.

Passo 4

Fazendo o cancelamento explicitamente:
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)(2n)(2n-1)!}=\frac{1}{(2n)(2n+1)}.
Podemos também escrever
a_{n}=\frac{1}{4n^{2}+2n}.

Passo 5

Observe que para todo n\ge1 vale 2n+1>2n, portanto
(2n)(2n+1) > (2n)(2n)=4n^{2}.
Assim, para todo n\ge1 temos a desigualdade
0 < a_{n} = \frac{1}{(2n)(2n+1)} < \frac{1}{4n^{2}}.

Passo 6

Conhece-se o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n^{2}} = 0,
porque n^{2} tende a +\infty quando n\to\infty, logo o recíproco tende a 0. (Formalmente: para dado \varepsilon>0 basta escolher N>\sqrt{\tfrac{1}{4\varepsilon}} para garantir 1/(4n^{2})<\varepsilon sempre que n\ge N.)

Passo 7

Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), tendo 0<a_{n}<1/(4n^{2}) e sabendo que o lado direito tende a 0, conclui-se que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Exercícios relacionados