Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
h) *
h) *
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
definida por
A pergunta é: determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o seu limite.
Passo 2
Lembrando a definição e uma propriedade básica de fatorial: para todo inteiro
,
Isto significa que podemos expandir um fatorial maior em termos de um menor multiplicado por alguns fatores à frente.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao fatorial do denominador
, temos
Substituindo isso em
obtém-se cancelamento do
.
Passo 4
Fazendo o cancelamento explicitamente:
Podemos também escrever
Passo 5
Observe que para todo
vale
, portanto
Assim, para todo
temos a desigualdade
Passo 6
Conhece-se o limite
porque
tende a
quando
, logo o recíproco tende a
. (Formalmente: para dado
basta escolher
para garantir
sempre que
.)
Passo 7
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), tendo
e sabendo que o lado direito tende a
, conclui-se que
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e
.