Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
h) * \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \log n}{n}
Passo 1
O enunciado pede determinar a convergência ou divergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\log n}{n}.
Informações relevantes dadas:
O termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{\log n}{n}.
A sequência dos módulos dos termos é b_n=\dfrac{\log n}{n}, que é não negativa para n\ge1 (note que \log 1=0).
A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou condicionalmente? (Ou diverge?)
Passo 2
Qual ferramenta usar: para séries alternadas uma escolha natural é o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Vou lembrar a versão prática desse teste e então verificar as hipóteses para b_n=\dfrac{\log n}{n}.
Enunciado do Teste de Leibniz (forma prática):
Seja \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge0. Se
b_n é (eventualmente) monótona decrescente, e
\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série alternada converge.
Vou verificar cada hipótese para b_n=\dfrac{\log n}{n}.
Verificar que b_n=\dfrac{\log n}{n} é (eventualmente) decrescente.
Considere f(x)=\dfrac{\log x}{x} para x>0. Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{1\cdot x - \log x \cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}.
O sinal de f'(x) é dado por 1-\log x. Assim f'(x)<0 sempre que \log x>1, isto é, para x>e (e e\approx2{,}718). Logo, f é decrescente para x>e. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge3 (pois 3>e). Para as poucas primeiras ordens (n=1,2) não interessa: o Teste de Leibniz exige monotonicidade somente a partir de algum índice N.
Portanto b_n é (eventualmente) decrescente.
Passo 5
Aplicando o Teste de Leibniz:
Verificamos que b_n\ge0.
Verificamos que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Verificamos que b_n é decrescente para n suficientemente grande.
Pelo Teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\log n}{n}
converge. (Isto mostra convergência, possivelmente condicional.)
Usamos o Teste Integral (ou uma observação equivalente): para x\ge3 a função x\mapsto \dfrac{\log x}{x} é positiva e decrescente, logo podemos comparar a soma com a integral impropria
\int_{3}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx.
Calcule a primitiva:
\int \frac{\log x}{x}\,dx=\frac{1}{2}(\log x)^2 + C.
porque (\log t)^2\to\infty quando t\to\infty. Pelo teste da integral, a série \sum_{n=3}^\infty \dfrac{\log n}{n} diverge, e portanto \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\log n}{n} também diverge.
(Alternativa rápida: pelo teste de condensação de Cauchy, \sum \dfrac{\log n}{n} diverge também, pois condensa para uma série do tipo \sum k, que diverge.)
Conclusão: a série dos módulos diverge, isto é, a série não converge absolutamente.
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores:
A série alternada converge (por Leibniz).
A série dos valores absolutos diverge (por teste da integral).
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).