Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
h) * \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \log n}{n}

Passo 1

O enunciado pede determinar a convergência ou divergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\log n}{n}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{\log n}{n}.
  • A sequência dos módulos dos termos é b_n=\dfrac{\log n}{n}, que é não negativa para n\ge1 (note que \log 1=0).
    A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou condicionalmente? (Ou diverge?)

Passo 2

Qual ferramenta usar: para séries alternadas uma escolha natural é o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Vou lembrar a versão prática desse teste e então verificar as hipóteses para b_n=\dfrac{\log n}{n}.
Enunciado do Teste de Leibniz (forma prática):
Seja \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge0. Se
  1. b_n é (eventualmente) monótona decrescente, e
  2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
    então a série alternada converge.
Vou verificar cada hipótese para b_n=\dfrac{\log n}{n}.

Passo 3

Verificar \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\log n}{n}=0.
Argumento (mais simples usando variável contínua e regra de L’Hôpital): considere a função \dfrac{\log x}{x} para x\to\infty. Aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{( \log x)'}{(x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=0.

Passo 4

Verificar que b_n=\dfrac{\log n}{n} é (eventualmente) decrescente.
Considere f(x)=\dfrac{\log x}{x} para x>0. Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{1\cdot x - \log x \cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}.
O sinal de f'(x) é dado por 1-\log x. Assim f'(x)<0 sempre que \log x>1, isto é, para x>e (e e\approx2{,}718). Logo, f é decrescente para x>e. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge3 (pois 3>e). Para as poucas primeiras ordens ( n=1,2) não interessa: o Teste de Leibniz exige monotonicidade somente a partir de algum índice N.
Portanto b_n é (eventualmente) decrescente.

Passo 5

Aplicando o Teste de Leibniz:
  • Verificamos que b_n\ge0.
  • Verificamos que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
  • Verificamos que b_n é decrescente para n suficientemente grande.
Pelo Teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\log n}{n}
converge. (Isto mostra convergência, possivelmente condicional.)

Passo 6

Agora verificar convergência absoluta: analisar \sum_{n=1}^{\infty} \left|\dfrac{(-1)^{n-1}\log n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\log n}{n}.
Usamos o Teste Integral (ou uma observação equivalente): para x\ge3 a função x\mapsto \dfrac{\log x}{x} é positiva e decrescente, logo podemos comparar a soma com a integral impropria
\int_{3}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx.
Calcule a primitiva:
\int \frac{\log x}{x}\,dx=\frac{1}{2}(\log x)^2 + C.
Logo
\int_{3}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2}(\log t)^2-\frac{1}{2}(\log 3)^2=+\infty,
porque (\log t)^2\to\infty quando t\to\infty. Pelo teste da integral, a série \sum_{n=3}^\infty \dfrac{\log n}{n} diverge, e portanto \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\log n}{n} também diverge.
(Alternativa rápida: pelo teste de condensação de Cauchy, \sum \dfrac{\log n}{n} diverge também, pois condensa para uma série do tipo \sum k, que diverge.)
Conclusão: a série dos módulos diverge, isto é, a série não converge absolutamente.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores:
  • A série alternada converge (por Leibniz).
  • A série dos valores absolutos diverge (por teste da integral).
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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