Questão 3. Determine a convergência das séries abaixo, usando o teste da integral:
sum e^-n

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^inftye^-n
usando o teste da integral. O conteúdo necessário é o teste da integral para séries de termos positivos, que relaciona a convergência de
sum an
com a convergência de
integral1^inftyf(x),dx,
onde f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>=1 e satisfaz f(n)=an.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^-x
Observamos que para x>=1:
  1. f(x)>0.
  2. f'(x) = -e^-x<0, logo f é decrescente.
  3. f é contínua em [1,infty).
    Além disso, f(n)=e^-n=an, então podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria associada:
integral1^infty e^-x,dx = limttoinfty integral1^t e^-x,dx = limttoinfty l[-e^-xr]1^t = limttoinfty l(-e^-t + e^-1r) = e^-1
Como e^-1 é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, a convergência da integral
integral1^inftye^-x,dx
implica que a série
sumn=1^inftye^-n
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-n é convergente.

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