Questão 3. Determine a convergência das séries abaixo, usando o teste da integral:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo necessário é o teste da integral para séries de termos positivos, que relaciona a convergência de
com a convergência de
,
onde é contínua, positiva e decrescente para
e satisfaz
.
usando o teste da integral. O conteúdo necessário é o teste da integral para séries de termos positivos, que relaciona a convergência de
com a convergência de
onde
Passo 2
Definimos
Observamos que para
:
-
. -
, logo é decrescente. -
é contínua em .
Além disso,, então podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria associada:
Como
é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, a convergência da integral
implica que a série
também converge.
implica que a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.