Para cada função abaixo, calculecalcule fx, fy, fx x, fy y, fx y, fy x
(d) f(x, y)=2 x^2 sen(y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=2x^2sin(y)
O conteúdo é diferenciação parcial: usamos a regra do produto (aqui 2x^2 e sin(y)), a derivada de sin(y) que é cos(y) e a derivada de x^2 que é 2x. A partir de fx e fy construímos fxx,fyy,fxy,fyx.

Passo 2

Derivando f em relação a x, tratamos sin(y) como constante e obtemos
fx(x,y)=partialpartial xl(2x^2r),sin(y) =4xsin(y)
Derivando f em relação a y, 2x^2 é constante e a derivada de sin(y) é cos(y), logo
fy(x,y)=2x^2,cos(y)

Passo 3

Para fxx, derivamos fx=4xsin(y) em relação a x, vendo sin(y) como constante:
fxx(x,y)=partialpartial xl(4xsin(y)r) =4sin(y)
Para fxy, derivamos fx=4xsin(y) em relação a y, tratando x como constante e usando ddysin(y)=cos(y):
fxy(x,y)=4xcos(y)

Passo 4

Para fyy, derivamos fy=2x^2cos(y) em relação a y, usando ddycos(y)=-sin(y):
fyy(x,y)=2x^2,l(-sin(y)r) =-2x^2sin(y)
Para fyx, derivamos fy=2x^2cos(y) em relação a x, vendo cos(y) como constante:
fyx(x,y)=4xcos(y)
Note que de fato fxy=fyx, confirmando a igualdade das derivadas mistas.

Resposta

fx(x,y)=4xsin(y), fy(x,y)=2x^2cos(y),
fxx(x,y)=4sin(y), fyy(x,y)=-2x^2sin(y),
fxy(x,y)=4xcos(y), fyx(x,y)=4xcos(y)

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