Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{4}-1}.
Vou listar claramente as informações dadas:
  • A sequência de termos gerais é a_{n}=\dfrac{n^{3}}{n^{4}-1} para n\ge1.
  • A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge?

Passo 2

Lembrete útil que vou usar (explicando bem devagar):
  • A série harmônica é \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}. Sabe-se que essa série diverge.
  • O teste da comparação por limite (limit comparison test) diz o seguinte. \text{Se }a_n\ge0,\\ b_n>0\text{ e }\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=Londe 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
    Explicando as variáveis: a_n é o termo da série que queremos estudar, b_n é o termo de uma série de referência já conhecida, e L é o limite finito e não nulo dessa razão.

Passo 3

Vou ver o comportamento assintótico de a_n dividindo numerador e denominador por n^{4}:
a_n=\frac{n^{3}}{n^{4}-1}=\frac{\dfrac{n^{3}}{n^{4}}}{1-\dfrac{1}{n^{4}}}=\frac{\dfrac{1}{n}}{1-\dfrac{1}{n^{4}}}.
Isso mostra que, para n grande, a_n é aproximadamente \dfrac{1}{n} multiplicado por um fator que tende a 1. Em linguagem menos técnica: a_n tem o mesmo decaimento de ordem de \dfrac{1}{n}.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação por limite com a série harmônica \sum b_n onde b_n=\dfrac{1}{n}, calculo a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{n^{3}}{n^{4}-1}}{\dfrac{1}{n}}=\frac{n^{4}}{n^{4}-1}.
Agora tomo o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}-1}=1.
O limite é um número finito e estritamente positivo ( L=1). Pelo teste da comparação por limite, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n}.

Passo 5

Como a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, e \sum a_n tem o mesmo comportamento por conta do limite L=1, conclui-se que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{n^{4}-1} também diverge.
Observação alternativa (mais elementar): para n\ge2 tem-se n^{4}-1<n^{4}, portanto
\frac{n^{3}}{n^{4}-1}>\frac{n^{3}}{n^{4}}=\frac{1}{n}.
Como a comparação termo a termo dá a_n>\dfrac{1}{n} para n grande e a série dos 1/n diverge, a série de a_n também diverge (lembrando que alterar um número finito de primeiros termos não altera a convergência/divergência).

Resposta

Diverge.

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