Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Vou listar claramente as informações dadas:
- A sequência de termos gerais é
para . - A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Lembrete útil que vou usar (explicando bem devagar):
- A série harmônica é
. Sabe-se que essa série diverge. - O teste da comparação por limite (limit comparison test) diz o seguinte.
onde , então as séries e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Explicando as variáveis:é o termo da série que queremos estudar, é o termo de uma série de referência já conhecida, e é o limite finito e não nulo dessa razão.
Passo 3
Vou ver o comportamento assintótico de
dividindo numerador e denominador por
:
Isso mostra que, para
grande,
é aproximadamente
multiplicado por um fator que tende a
. Em linguagem menos técnica:
tem o mesmo decaimento de ordem de
.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação por limite com a série harmônica
onde
, calculo a razão:
Agora tomo o limite:
O limite é um número finito e estritamente positivo (
). Pelo teste da comparação por limite, a série
tem o mesmo comportamento da série
.
Passo 5
Como a série harmônica
diverge, e
tem o mesmo comportamento por conta do limite
, conclui-se que
também diverge.
Observação alternativa (mais elementar): para
tem-se
, portanto
Como a comparação termo a termo dá
para
grande e a série dos
diverge, a série de
também diverge (lembrando que alterar um número finito de primeiros termos não altera a convergência/divergência).
Resposta
Diverge.