Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4+3^{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4+3^{n}}{2^{n}}.
Informações dadas:
  • A cada n o termo geral é \dfrac{4+3^{n}}{2^{n}}.
  • Deve-se dizer se a série converge ou diverge (não é preciso achar o valor, se convergir).

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o termo geral para ver a estrutura:
\frac{4+3^{n}}{2^{n}}=\frac{4}{2^{n}}+\frac{3^{n}}{2^{n}}.
Logo a série se separa em duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4+3^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}}.
Escrevendo de forma mais simples:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}}=4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}.

Passo 3

Recordando a regra para séries geométricas (explicando bem):
  • Uma série geométrica tem a forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} (ou \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}).
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Se |r|<1, então
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui r é a razão geométrica; o critério diz que a razão em módulo deve ser menor que 1 para que os termos tendam a zero e a soma seja finita.
Também é importante lembrar uma condição necessária para convergência de qualquer série: se \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Se os termos não tendem a zero, a série diverge.

Passo 4

Aplicando o critério geométrico à primeira soma:
4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
a razão é r=\dfrac{1}{2} e |r|=\dfrac{1}{2}<1. Portanto essa série geométrica converge. Para fixar a ideia, seu valor (não pedido, mas instrutivo) é
4\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=4\cdot 1=4.

Passo 5

Agora a segunda soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}.
Aqui a razão é r=\dfrac{3}{2} e |r|=\dfrac{3}{2}>1. Pela regra da série geométrica, quando |r|>1 a série diverge (os termos crescem em módulo). Além disso, verificando a condição necessária: o termo geral dessa série é \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} que não tende a 0 quando n\to\infty — pelo contrário, tende a +\infty. Logo essa série diverge.

Passo 6

Separamos a série original em uma parte convergente e outra divergente. A soma de uma série divergente com outra (mesmo que esta seja convergente) é divergente. Portanto a série inteira diverge.

Resposta

A série diverge.

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