Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede determinar a convergência da série
Informações dadas:
- A cada
o termo geral é . - Deve-se dizer se a série converge ou diverge (não é preciso achar o valor, se convergir).
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o termo geral para ver a estrutura:
Logo a série se separa em duas séries:
Escrevendo de forma mais simples:
Passo 3
Recordando a regra para séries geométricas (explicando bem):
- Uma série geométrica tem a forma
(ou ). - Essa série converge se, e somente se,
. - Se
, então
Aqui
é a razão geométrica; o critério diz que a razão em módulo deve ser menor que 1 para que os termos tendam a zero e a soma seja finita.
Também é importante lembrar uma condição necessária para convergência de qualquer série: se
converge então
. Se os termos não tendem a zero, a série diverge.
Passo 4
Aplicando o critério geométrico à primeira soma:
a razão é
e
. Portanto essa série geométrica converge. Para fixar a ideia, seu valor (não pedido, mas instrutivo) é
Passo 5
Agora a segunda soma:
Aqui a razão é
e
. Pela regra da série geométrica, quando
a série diverge (os termos crescem em módulo). Além disso, verificando a condição necessária: o termo geral dessa série é
que não tende a
quando
— pelo contrário, tende a
. Logo essa série diverge.
Passo 6
Separamos a série original em uma parte convergente e outra divergente. A soma de uma série divergente com outra (mesmo que esta seja convergente) é divergente. Portanto a série inteira diverge.
Resposta
A série diverge.