Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral é
. - Não é pedido o valor da soma, apenas decidir se a série converge ou diverge.
O que vou mostrar (apenas para organizar): manipular o termo geral para compará-lo com séries do tipo
(as chamadas séries
-séries) e usar resultados conhecidos sobre elas para concluir sobre a convergência.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral algebraicamente para ver melhor sua ordem em função de
. Repare que
, logo
Agora escrevemos isso como diferença de potências de
:
Portanto a série pode ser escrita como
Passo 3
Lembrete sobre a série
-série: a série
converge se, e somente se,
. Essa é uma propriedade padrão (teste da
-série). Explicando intuitivamente: quanto maior
, mais rápido os termos vão a zero; quando
a soma das caudas decrescentes é finita.
Passo 4
Aplicando o teste da
-série às duas séries que surgiram na decomposição:
- Para
temos , portanto essa série converge. - Para
temos , portanto essa também converge.
Passo 5
Se duas séries numéricas convergem, então a série formada pela diferença termo a termo também converge (a soma/diferença de séries convergentes é convergente). Como escrevemos o termo original como
, e cada uma das séries
e
converge, segue que
converge.
Observação adicional (útil na prova): os termos do somando original são não negativos para
(para
o termo é
), portanto a convergência que encontramos é, na prática, convergência absoluta — não há necessidade de separar em sinal alternado aqui, pois os termos são positivos a partir de
.
Passo 6
Como alternativa (ou para reforçar entendimento), pode-se usar o teste da comparação/razão-limite com
. Calcule
Como esse limite é um número finito e positivo e
converge (
), pelo teste da comparação limite a série original também converge. Esse cálculo reforça e concorda com a conclusão anterior.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).