Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^{2} \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^{2}\sqrt{n}}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{n-1}{n^{2}\sqrt{n}}.
  • Não é pedido o valor da soma, apenas decidir se a série converge ou diverge.
O que vou mostrar (apenas para organizar): manipular o termo geral para compará-lo com séries do tipo \sum 1/n^{p} (as chamadas séries p-séries) e usar resultados conhecidos sobre elas para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral algebraicamente para ver melhor sua ordem em função de n. Repare que \sqrt{n}=n^{1/2}, logo
\frac{n-1}{n^{2}\sqrt{n}}=\frac{n-1}{n^{2}n^{1/2}}=\frac{n-1}{n^{5/2}}.
Agora escrevemos isso como diferença de potências de n:
\frac{n-1}{n^{5/2}}=\frac{n}{n^{5/2}}-\frac{1}{n^{5/2}}=\frac{1}{n^{3/2}}-\frac{1}{n^{5/2}}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3/2}}-\frac{1}{n^{5/2}}\right).

Passo 3

Lembrete sobre a série p-série: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Essa é uma propriedade padrão (teste da p-série). Explicando intuitivamente: quanto maior p, mais rápido os termos vão a zero; quando p>1 a soma das caudas decrescentes é finita.

Passo 4

Aplicando o teste da p-série às duas séries que surgiram na decomposição:
  • Para \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}} temos p=\tfrac{3}{2}>1, portanto essa série converge.
  • Para \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{5/2}} temos p=\tfrac{5}{2}>1, portanto essa também converge.

Passo 5

Se duas séries numéricas convergem, então a série formada pela diferença termo a termo também converge (a soma/diferença de séries convergentes é convergente). Como escrevemos o termo original como \dfrac{1}{n^{3/2}}-\dfrac{1}{n^{5/2}}, e cada uma das séries \sum 1/n^{3/2} e \sum 1/n^{5/2} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3/2}}-\frac{1}{n^{5/2}}\right)
converge.
Observação adicional (útil na prova): os termos do somando original são não negativos para n\ge1 (para n=1 o termo é 0), portanto a convergência que encontramos é, na prática, convergência absoluta — não há necessidade de separar em sinal alternado aqui, pois os termos são positivos a partir de n=2.

Passo 6

Como alternativa (ou para reforçar entendimento), pode-se usar o teste da comparação/razão-limite com \dfrac{1}{n^{3/2}}. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n-1}{n^{5/2}}}{\dfrac{1}{n^{3/2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n^{5/2}}\cdot n^{3/2} =\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n} =1.
Como esse limite é um número finito e positivo e \sum 1/n^{3/2} converge ( p=\tfrac{3}{2}>1), pelo teste da comparação limite a série original também converge. Esse cálculo reforça e concorda com a conclusão anterior.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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