Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
l) *
l) *
Passo 1
O enunciado dá a série
O que é pedido: determinar se essa série converge ou diverge (não é necessário calcular soma). Informações relevantes que já temos do enunciado:
- O termo geral da série é
. - Para todo
tem-se , logo .
Passo 2
Verificar a condição necessária de convergência: o termo geral deve tender a zero. Calcular
Como
quando
e a função
é contínua, tem-se
Comentário amigável: passar nesse teste (termo vai a zero) é necessário, mas não garante convergência da série — por exemplo a série harmônica tem termo que vai a zero e mesmo assim diverge.
Passo 3
Comparar o comportamento de
com o termo da série harmônica
. Para isso é útil analisar o quociente
Faço a mudança
. Então
quando
e o limite acima vira o clássico
Uma forma elementar de ver que esse limite vale
é usar a desigualdade (para
)
e como
, pelo princípio do confronto segue
Portanto
Passo 4
Aplicar o teste de comparação por limite (limit comparison test). O teste diz: se
,
e
com
, então
converge se, e somente se,
converge. Aqui tomamos
e
. Já mostramos que
para
grande e que
Como a série harmônica
é divergente, pela comparação por limite a série
também é divergente.
Passo 5
Comentário final intuitivo (para fixar): para
grande
é muito próximo de
(mais precisamente
), então as somas parciais crescem como as da harmônica e não se estabilizam — por isso divergem. Força aí nos estudos, esse tipo de comparação é um truque super útil na prova!
Resposta
A série diverge.