Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
l) * \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
O que é pedido: determinar se essa série converge ou diverge (não é necessário calcular soma). Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • Para todo n\ge 1 tem-se 0<\dfrac{1}{n}\le 1, logo \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)>0.

Passo 2

Verificar a condição necessária de convergência: o termo geral deve tender a zero. Calcular
\lim_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty e a função \sin é contínua, tem-se
\lim_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\sin(0)=0.
Comentário amigável: passar nesse teste (termo vai a zero) é necessário, mas não garante convergência da série — por exemplo a série harmônica tem termo que vai a zero e mesmo assim diverge.

Passo 3

Comparar o comportamento de a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) com o termo da série harmônica b_n=\dfrac{1}{n}. Para isso é útil analisar o quociente
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}.
Faço a mudança x=\dfrac{1}{n}. Então x\to 0^+ quando n\to\infty e o limite acima vira o clássico
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}.
Uma forma elementar de ver que esse limite vale 1 é usar a desigualdade (para 0<x<\tfrac{\pi}{2})
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to 0}\cos x =1, pelo princípio do confronto segue
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=1.

Passo 4

Aplicar o teste de comparação por limite (limit comparison test). O teste diz: se a_n>0, b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge. Aqui tomamos a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) e b_n=\dfrac{1}{n}. Já mostramos que a_n>0 para n grande e que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1.
Como a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, pela comparação por limite a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
também é divergente.

Passo 5

Comentário final intuitivo (para fixar): para n grande \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é muito próximo de \dfrac{1}{n} (mais precisamente \sin(1/n)=\dfrac{1}{n}+O(\dfrac{1}{n^3})), então as somas parciais crescem como as da harmônica e não se estabilizam — por isso divergem. Força aí nos estudos, esse tipo de comparação é um truque super útil na prova!

Resposta

A série diverge.

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