Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Para
tem-se , logo . Para os termos são não-negativos (na verdade positivos). - A pergunta é apenas sobre convergência (não é preciso calcular soma).
Passo 2
Observação sobre comportamento para grandes
. Quando
é grande, podemos comparar a taxa de decaimento de
com uma série-p conhecida. Uma forma simples é olhar o grau (ordem) dos polinômios no numerador e no denominador para achar a ordem assintótica de
.
Explicando a ideia (passo-a-passo): se um termo
é da ordem de
quando
, então é natural comparar com a série-p
. A série-p converge se
e diverge se
. Essa comparação é o fundamento do teste de comparação por limite que vamos usar.
Passo 3
Determinar a ordem assintótica de
. Olhando os maiores termos dos polinômios:
- No numerador
o termo dominante é aproximadamente . - No denominador
o termo dominante é aproximadamente .
Portanto, de forma heurísticase comporta como quando é grande. Isso sugere comparar com , cuja série é convergente (p-série com ).
Passo 4
Apresentar e aplicar o Teste da Comparação por Limite (limite comparativo).
Enunciado do teste (em palavras simples): Se e
para todo
a partir de algum
, e
Enunciado do teste (em palavras simples): Se
com
, então
converge se, e somente se,
converge.
Aqui escolhemos
(série-p convergente). Vamos calcular o limite
Passo 5
Calcular o limite
de forma algébrica, fatorando potências de
.
Escrevendo cada fator em termos de
:
Substituindo em
:
Agora, ao tomar
, os termos
e
vão para zero, portanto
Logo
.]
Passo 6
Conclusão usando o teste da comparação por limite. Como
com
e sabemos que
converge (série-p com
), segue que a série original
também converge. Como os termos são não-negativos a partir de
(e
), a convergência é simples e coincide com convergência absoluta.
Força aí — boa notícia: a série converge, e deu para provar com uma única comparação limpa!
Resposta
A série converge.