Questão 4. Determine uma curva
e
seja ortogonal a
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que seu vetor tangente
seja sempre ortogonal ao campo
Em coordenadas, a condição de ortogonalidade é
Para resolver, vamos extrair daí uma equação diferencial ligando
e
.
Passo 2
Escrevendo
, a condição
pode ser reescrita como
Assim, as trajetórias ortogonais a
satisfazem o EDO de primeira ordem
Passo 3
Para encontrar a família de curvas, tratamos
como uma forma diferencial. Integrando “formalmente” cada termo, obtemos
Fazendo as integrais
chegamos à solução implícita
Passo 4
que é a família de curvas cujos tangentes são ortogonais a
.
Resposta
A família de curvas ortogonais ao campo
é dada implicitamente por
com
constante. A cada valor de
corresponde uma curva
cujos pontos
satisfazem essa relação.