Questão 4. Determine uma curva \gamma(t), t \in \mathrm{I} e \gamma^{\prime} seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), onde \vec{F}(x, y)=2 x \vec{i}+\left(x+y^{3}\right) \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que seu vetor tangente \gamma'(t) seja sempre ortogonal ao campo
\vec F(x,y) = 2x\,\vec i + (x+y^3)\,\vec j.
Em coordenadas, a condição de ortogonalidade é
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=0.
Para resolver, vamos extrair daí uma equação diferencial ligando y e x.

Passo 2

Escrevendo \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)), a condição
(2x)\,x' + (x+y^3)\,y' = 0
pode ser reescrita como
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\,x+y^3\,}.
Assim, as trajetórias ortogonais a \vec F satisfazem o EDO de primeira ordem
(x+y^3)\,dy + 2x\,dx = 0.

Passo 3

Para encontrar a família de curvas, tratamos
(x+y^3)\,dy + 2x\,dx = 0
como uma forma diferencial. Integrando “formalmente” cada termo, obtemos
\int2x\,dx \;+\;\int(x+y^3)\,dy \;=\;C.
Fazendo as integrais
\int2x\,dx = x^2, \quad \int x\,dy = x\,y, \quad \int y^3\,dy = \frac{y^4}{4},
chegamos à solução implícita

Passo 4

x^2 \;+\; x\,y \;+\;\frac{y^4}{4} \;=\; C,
que é a família de curvas cujos tangentes são ortogonais a \vec F.

Resposta

A família de curvas ortogonais ao campo \vec F é dada implicitamente por
x^2 + x\,y + \frac{y^4}{4} = C,
com C constante. A cada valor de C corresponde uma curva \gamma(t) cujos pontos (x,y) satisfazem essa relação.

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