Questão 5. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo y seja regido pela equação
y^{\prime \prime}+8 y=0 .
Determine a relação entre v e y.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento de uma partícula no eixo y
y'' + 8\,y = 0
e pede a relação entre a velocidade v e o deslocamento y. Aqui vamos usar a ideia de “energia mecânica” ou, de modo geral, integrar a equação multiplicando por y'.

Passo 2

Definimos a velocidade como
v = y'\,.
Então temos y'' = v'. Substituindo na equação de movimento,
v' + 8\,y = 0.

Passo 3

Multiplicamos essa equação por v para poder reconhecer uma derivada total:
v\,v' + 8\,y\,v = 0.
Note que v\,v' = \tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{v^2}{2}\bigr) e y\,v = y\,y' = \tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{y^2}{2}\bigr). Assim,
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{v^2}{2}\Bigr) + 8\,\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{y^2}{2}\Bigr) = 0.

Passo 4

Como soma de derivadas = derivada da soma, temos
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{v^2}{2} + 8\,\tfrac{y^2}{2}\Bigr) = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{v^2}{2} + 4\,y^2\Bigr) = 0.
Isso implica que
\tfrac{v^2}{2} + 4\,y^2 = C,
onde C é constante determinada pelas condições iniciais.

Passo 5

Multiplicando por 2, obtemos a forma mais usual da relação v y:
v^2 + 8\,y^2 = 2C \equiv K,
ou seja
v = \pm\sqrt{\,K - 8\,y^2\,},
com K constante.

Resposta

A relação entre v e y é
v^2 + 8\,y^2 = K,
ou equivalentemente
v = \pm\sqrt{K - 8\,y^2},
onde K é uma constante fixa pelas condições iniciais.

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