Questão 3. Encontre uma solução para a equação diferencial de primeira ordem a seguir usando o método do fator integrante
2 y d x+3 x d y=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial na forma
2\,y\,dx + 3\,x\,dy = 0,
que pode ser escrita como M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com
M(x,y)=2y, \quad N(x,y)=3x.
Vamos usar o método do fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 3.
Como 2\neq3, a equação não é exata e precisamos achar um fator integrante.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. A condição é
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{2-3}{3x} = -\frac{1}{3x}.
Integrando em x, vem
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{3x}\,dx\Bigr) = x^{-1/3}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{-1/3}:
2\,y\,x^{-1/3}\,dx + 3\,x\,x^{-1/3}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y\,x^{-1/3}\,dx + 3x^{2/3}\,dy = 0.
Agora checamos exatidão:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\,x^{-1/3}\bigr) = 2x^{-1/3}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2/3}\bigr) = 2x^{-1/3},
logo a forma é exata.

Passo 5

Por exatidão, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x} = 2y\,x^{-1/3}, \quad \frac{\partial\psi}{\partial y} = 3x^{2/3}.
Integramos \partial\psi/\partial x em x:
\psi(x,y) = \int 2y\,x^{-1/3}\,dx = 2y\cdot\frac{3}{2}x^{2/3} + h(y) = 3y\,x^{2/3} + h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\psi}{\partial y} = 3x^{2/3} + h'(y)
deve igualar 3x^{2/3}, logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
\psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad 3y\,x^{2/3} = C.
Isolando y ou reescrevendo, temos a família de soluções
y = C'\,x^{-2/3} \quad\text{ou}\quad x^2\,y^3 = K.

Resposta

A solução geral é
y = C\,x^{-2/3},
que equivale a
x^2\,y^3 = \text{constante}.

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