Questão 3. Encontre uma solução para a equação diferencial de primeira ordem a seguir usando o método do fator integrante
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial na forma
que pode ser escrita como
com
Vamos usar o método do fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Verificamos exatidão calculando
Como
, a equação não é exata e precisamos achar um fator integrante.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
Integrando em
, vem
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora checamos exatidão:
logo a forma é exata.
Passo 5
Por exatidão, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
:
deve igualar
, logo
e
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
Isolando
ou reescrevendo, temos a família de soluções
Resposta
A solução geral é
que equivale a