Considere a equação
x^{5} d x+2 y^{2} d y=0 .
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{5}\,dx + 2y^{2}\,dy = 0
e pede:
– (a) verificar se ela é exata;
– (b) encontrar a solução que satisfaz y(0)=0.
Para isso usamos o critério de exatidão: numa forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, ela é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
e então existe função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^{5}, \quad N(x,y) = 2y^{2}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
logo \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. A equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Phi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M = x^{5}, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N = 2y^{2}.
Integrando M em x:
\Phi(x,y) = \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6} + h(y).
Para achar h(y), derivamos em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = h'(y) \overset!= 2y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int 2y^{2}\,dy = \frac{2y^{3}}{3}.
Portanto
\Phi(x,y) = \frac{x^{6}}{6} + \frac{2y^{3}}{3}.

Passo 4

A solução geral está em
\Phi(x,y) = C,
isto é,
\frac{x^{6}}{6} + \frac{2y^{3}}{3} = C.
Usando y(0)=0:
\frac{0^{6}}{6} + \frac{2\cdot0^{3}}{3} = C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Então a solução (implícita) é
\frac{x^{6}}{6} + \frac{2y^{3}}{3} = 0.
Podemos isolar y:
y^{3} = -\frac{x^{6}}{4} \quad\Longrightarrow\quad y = -\Bigl(\tfrac{x^{6}}{4}\Bigr)^{\!1/3} = -\frac{x^{2}}{4^{1/3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{6}}{6} + \frac{2y^{3}}{3} = 0, ou, explicitamente,
y = -\frac{x^{2}}{4^{1/3}}.

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