Prove que, no método de Gauss-Seidel, vale a relação:
e1^(k+1) & =-1a11(a12 e2^(k)+a13 e3^(k)+ldots+a1 n en^(k)) e2^(k+1) & =-1a22(a21 e1^(k+1)+a23 e3^(k)+ldots+a2 n en^(k)) & cdot & cdot en^(k+1) & =-1an n(an 1 e1^(k+1)+an 2 e2^(k+1)+ldots+an(n-1) en-1^(k+1))

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei de propagação de erros no método de Gauss–Seidel.
Conteúdo: iteração de Gauss–Seidel para resolver A x=b e análise do erro
Definição de erro: seja x^* a solução exata de A x=b e
e^(k) = x^(k) - x^*
Vamos usar a fórmula de atualização de Gauss–Seidel para x^(k+1) e então expressar em termos de e^(k) e e^(k+1).

Passo 2

Escrevemos a regra de Gauss–Seidel para o componente i:
xi^(k+1) =1aiil(bi - sumj=1^i-1aij,xj^(k+1) - sumj=i+1^naij,xj^(k)r)
Isso vem de isolar xi na linha i da equação A x=b.

Passo 3

Como x^* satisfaz A x^*=b, temos
bi = sumj=1^naij,xj^*
Substituímos esse bi na fórmula de xi^(k+1).

Passo 4

Subtraindo xi^* de ambos os lados e usando a definição ei^(k)=xi^(k)-xi^*, obtemos
ei^(k+1) = xi^(k+1) - xi^* =1aiil(sumj=1^naij,xj^* - sumj=1^i-1aij,xj^(k+1) - sumj=i+1^naij,xj^(k)r) - xi^*
Mas sumj=1^naij,xj^*=bi, então o numerador vira
sumj=1^naij,xj^* - sumj=1^i-1aij,xj^(k+1) - sumj=i+1^naij,xj^(k) - aii,xi^*
Reagrupando estes termos em diferenças xj^(k+1)-xj^*=ej^(k+1) (para j<i) e xj^(k)-xj^*=ej^(k) (para j>i), fica
ei^(k+1) =-1aiil(sumj=1^i-1aij,ej^(k+1) +sumj=i+1^naij,ej^(k)r)

Passo 5

Escrevendo isso para i=1,2,dots,n obtemos exatamente o sistema desejado:
e1^(k+1) = -dfrac1a11l(a12 e2^(k)+cdots+a1n en^(k)r),[6pt] e2^(k+1) = -dfrac1a22l(a21 e1^(k+1)+a23 e3^(k)+cdots+a2n en^(k)r), vdots en^(k+1) = -dfrac1annl(an1 e1^(k+1)+cdots+an,n-1 en-1^(k+1)r) ]

Resposta

e1^(k+1) & = -1a11l(a12 e2^(k)+cdots+a1n en^(k)r), e2^(k+1) & = -1a22l(a21 e1^(k+1)+a23 e3^(k)+cdots+a2n en^(k)r), & ,vdots en^(k+1) & = -1annl(an1 e1^(k+1)+cdots+an,n-1 en-1^(k+1)r)

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