Vamos determinar domínio, esboçar o gráfico, encontrar a imagem, verificar se é limitada e checar paridade (par, ímpar ou nenhuma).
Passo 2
Domínio D: a lei cobre todos os xinR (ou seja, ou x<=1 ou x>1), logo
D = (-infty,infty),
que é um domínio ilimitado.
Passo 3
Esboço do gráfico:
– Para x<=1, temos a porção da parábola y=x^2. Ela vai de limxto-inftyx^2=+infty até o ponto (1,1).
– Para x>1, temos a reta y=2x-1, que em x=1 valeria 2cdot1-1=1 e cresce com inclinação 2.
As duas peças se unem em (1,1), garantindo continuidade.
Passo 4
Imagem de cada ramo:
Ramo x<=1: x^2 assume todos os valores de [0,infty) (mínimo 0 em x=0, cresce para +infty conforme |x|toinfty).
Ramo x>1: 2x-1 varia de (1,infty) (em xto1^+ vale pouco acima de 1, vai a +infty).
União dá imagem total
Im(f) = [0,infty)
Passo 5
Limitação da função:
– Há crescimento sem limite acima (+infty) em ambos os ramos, portanto f não é limitada superiormente.
– É limitada inferiormente por 0, mas como não é limitada acima, considera-se a função ilimitada.
Passo 6
Paridade:
Para ser par precisaríamos f(-x)=f(x) para todo x. Escolha x>1: então -x< -1<=1 e
f(-x)=(-x)^2=x^2, f(x)=2x-1,
e x^2neq 2x-1 em geral, logo não é par.
Para ser ímpar precisaríamos f(-x)=-f(x); como f(-x)=x^2 e -f(x)=-(2x-1), também não coincide.
Portanto f é nem par nem ímpar.
Resposta
Domínio: R (ilimitado)
Imagem: [0,infty)
Função: ilimitada (não limitada)
Paridade: nem par nem ímpar