Questão - 1: Determine a derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[3]{x}+2 x^{4} \sqrt{x}, onde \mathrm{x} \geq 0, no ponto \mathrm{x}=1.
a) 28 / 3
b) 1 / 5
c) 3 / 5
d) 14 / 3
e) zero

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{x}+2x^{4}\sqrt{x}
no ponto x=1. Vamos usar a regra da potência, que diz que
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\,.

Passo 2

Reescrevendo f(x) como soma de potências:
f(x)=x^{\tfrac{1}{3}}+2\,x^{4}\,x^{\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{1}{3}}+2\,x^{\tfrac{9}{2}}\,.

Passo 3

Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}+2\cdot\frac{9}{2}\,x^{\tfrac{7}{2}} =\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}+9\,x^{\tfrac{7}{2}}\,.

Passo 4

Avaliação em x=1:
f'(1)=\frac{1}{3}\cdot1^{-\tfrac{2}{3}}+9\cdot1^{\tfrac{7}{2}} =\frac{1}{3}+9=\frac{1+27}{3}=\frac{28}{3}\,.

Passo 5

O valor da derivada em x=1 é \tfrac{28}{3}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \tfrac{28}{3}

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