Questão - 3: Determine a derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(2 x^{2}+1\right) \sqrt{x+1}, com \mathrm{x}>0
a) 1
b) \frac{2}{3}
c) \frac{1}{2}
d) -1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(2x^2 + 1\bigr)\,\sqrt{x+1}
para x>0.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Escrevemos \sqrt{x+1} = (x+1)^{\tfrac12} e aplicamos a regra do produto:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^2+1\bigr)\,\cdot (x+1)^{\tfrac12} \;+\;(2x^2+1)\,\cdot\frac{d}{dx}(x+1)^{\tfrac12}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{d}{dx}(2x^2+1) = 4x, \quad \frac{d}{dx}(x+1)^{\tfrac12} = \tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12}\,\cdot 1.

Passo 4

Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) = 4x\,(x+1)^{\tfrac12} \;+\;(2x^2+1)\,\frac12\,(x+1)^{-\tfrac12}.

Passo 5

Para simplificar, colocamos em denominador comum 2\sqrt{x+1}=2(x+1)^{\tfrac12}:
f'(x) = \frac{8x(x+1) + (2x^2+1)}{2\,(x+1)^{\tfrac12}} = \frac{10x^2 + 8x + 1}{2\sqrt{x+1}}.

Resposta

Nenhuma das alternativas oferecidas corresponde a
f'(x) = \frac{10x^2 + 8x + 1}{2\sqrt{x+1}}.

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