Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=e^{\frac{\sqrt{x y}}{z^{2}+1}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis: primeiro derivamos a exponencial, depois derivamos seu “expoente” em relação a x, y e z.

Passo 2

Defina
\varphi(x,y,z)=\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1},
de modo que f=\exp(\varphi). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =f\;\frac{\partial \varphi}{\partial x}.
Como \varphi=(z^{2}+1)^{-1}\sqrt{x\,y}, temos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} =\frac{1}{z^{2}+1}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sqrt{x\,y}\bigr) =\frac{1}{z^{2}+1}\,\frac{y}{2\sqrt{x\,y}} =\frac{y}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \frac{y}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)}.

Passo 3

De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =f\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},
e
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{1}{z^{2}+1}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{x\,y}\bigr) =\frac{1}{z^{2}+1}\,\frac{x}{2\sqrt{x\,y}} =\frac{x}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \frac{x}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)}.

Passo 4

Para \partial f/\partial z, usamos
\frac{\partial f}{\partial z} =f\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}.
Agora
\varphi=\sqrt{x\,y}\,(z^{2}+1)^{-1},
então
\frac{\partial \varphi}{\partial z} =\sqrt{x\,y}\;\frac{\partial}{\partial z}\bigl((z^{2}+1)^{-1}\bigr) =\sqrt{x\,y}\,\bigl(-1\big)\,(z^{2}+1)^{-2}\,(2z) =-\frac{2z\,\sqrt{x\,y}}{(z^{2}+1)^{2}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} =\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \Bigl(-\frac{2z\,\sqrt{x\,y}}{(z^{2}+1)^{2}}\Bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \frac{y}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)},
\frac{\partial f}{\partial y} =\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \frac{x}{2\sqrt{x\,y}\,\bigl(z^{2}+1\bigr)},
\frac{\partial f}{\partial z} =-\exp\!\Bigl(\frac{\sqrt{x\,y}}{z^{2}+1}\Bigr)\, \frac{2z\,\sqrt{x\,y}}{(z^{2}+1)^{2}}.

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