• Questão 7: Determine x para que o determinante da matriz abaixos seja igual a -128.
[ccc 4 & 6 & x 5 & 2 & -x 7 & 4 & 2 x ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o valor de x que faz o determinante da matriz dada igual a -128. O conteúdo aqui é de álgebra linear, mais especificamente cálculo de determinantes de matrizes 3x3. Para resolver, vamos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 . Uma forma prática é usar a regra de Sarrus. Dada a matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante D é calculado assim:
D = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
Vamos aplicar isso à nossa matriz.

Passo 3

Identificando os elementos da nossa matriz:
4 & 6 & x 5 & 2 & -x 7 & 4 & 2x
Temos:
  • a = 4
  • b = 6
  • c = x
  • d = 5
  • e = 2
  • f = -x
  • g = 7
  • h = 4
  • i = 2x

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na fórmula do determinante:
D = (4)(2)(2x) + (6)(-x)(7) + (x)(5)(4) - (x)(2)(7) - (6)(5)(2x) - (4)(-x)(4)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. (4)(2)(2x) = 16x
  2. (6)(-x)(7) = -42x
  3. (x)(5)(4) = 20x
  4. (x)(2)(7) = 14x
  5. (6)(5)(2x) = 60x
  6. (4)(-x)(4) = -16x
Agora, substituímos de volta na fórmula:
D = 16x - 42x + 20x - 14x - 60x - (-16x)

Passo 6

Simplificando os termos:
D = 16x - 42x + 20x - 14x - 60x + 16x
Vamos somar os coeficientes:
D = (16 - 42 + 20 - 14 - 60 + 16)x = (-64)x
Então, o determinante é:
D = -64x

Passo 7

Sabemos que o determinante deve ser igual a -128. Então, temos:
-64x = -128
Agora, resolvendo para x :
x = -128-64 = 2

Resposta

O valor de x que satisfaz a condição é x = 2 .

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