Seja E uma base ortonormal de V^3. Determine as coordenadas na base E da projeção ortogonal do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(1) [w]E=(1,-1,2) e [v]E=(3,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas na base E da projeção ortogonal do vetor w na direção do vetor v. Aqui, a base E é ortonormal em um espaço tridimensional V^3. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de projeção vetorial e trabalhar com produtos internos usando coordenadas em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. A projeção de um vetor w na direção de outro vetor v é basicamente a “sombra” de w na direção de v. Matematicamente, a projeção é dada por:
projv w = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores.

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma base ortonormal, o produto interno entre dois vetores é simplesmente a soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes. Vamos calcular w cdot v e v cdot v usando as coordenadas fornecidas:
Dados:
[w]E = (1, -1, 2)
[v]E = (3, -1, 1)
Então,
w cdot v = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6
v cdot v = (3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 + 1 = 11

Passo 4

Agora que temos w cdot v = 6 e v cdot v = 11, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv w = ( 611 ) v

Passo 5

Vamos multiplicar cada componente de v por 611 para encontrar as coordenadas da projeção:
projv w = ( 611 times 3, 611 times (-1), 611 times 1 ) = ( 1811, -611, 611 )

Resposta

As coordenadas na base E da projeção ortogonal de w na direção de v são ( dfrac1811, dfrac-611, dfrac611 ).

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