Seja
uma base ortonormal de
. Determine as coordenadas na base
da projeção ortogonal do vetor
na direção do vetor
nos seguintes casos:
(1)
e
.
(1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas na base
da projeção ortogonal do vetor
na direção do vetor
. Aqui, a base
é ortonormal em um espaço tridimensional
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de projeção vetorial e trabalhar com produtos internos usando coordenadas em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. A projeção de um vetor
na direção de outro vetor
é basicamente a “sombra” de
na direção de
. Matematicamente, a projeção é dada por:
Aqui, o símbolo “
” representa o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores.
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma base ortonormal, o produto interno entre dois vetores é simplesmente a soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes. Vamos calcular
e
usando as coordenadas fornecidas:
Dados:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos substituir na fórmula da projeção:
Passo 5
Vamos multiplicar cada componente de
por
para encontrar as coordenadas da projeção:
Resposta
As coordenadas na base
da projeção ortogonal de
na direção de
são
.