Questão 1: Determine as dimensões dos seguintes subespaços de R^4.
todos os vetores da forma ( a, b, c, d ), onde d=a+b e c=a

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = (a,b,c,d)in R^4 mid c=a,;d=a+b
de R^4 e pede dim(S). Para isso, vamos usar a ideia de parametrizar os vetores pelas variáveis livres, encontrar vetores geradores (base) e contar quantos são linearmente independentes.

Passo 2

Aplicando as restrições c=a e d=a+b, um vetor genérico de S vira
(a,b,c,d) = (a,b,a,a+b)

Passo 3

Vamos escrever (a,b,a,a+b) em termos de parâmetros livres a e b. Temos
(a,b,a,a+b) = a,(1,0,1,1) ;+; b,(0,1,0,1)
Ou seja, todo vetor de S é combinação linear de
v1 = (1,0,1,1) e v2 = (0,1,0,1)

Passo 4

Os vetores v1 e v2 são claramente independentes (nenhum é múltiplo do outro), logo formam uma base de S. Como há 2 vetores na base,
dim(S) = 2

Resposta

2

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