Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T: M2(R) longrightarrow R^3, T(ccx & y z & w)=(x+y, x-2 y, z-3 w)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação
Tcolon M2(R) to R^3
definida por
Tl(x & y z & wr) = (x+y,;x-2y,;z-3w)
Vamos verificar se ela satisfaz as duas condições de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

(Teste de aditividade)
Sejam
A = x1 & y1 z1 & w1, B = x2 & y2 z2 & w2
Então
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2
e
T(A+B) = l((x1+x2)+(y1+y2),,(x1+x2)-2(y1+y2),,(z1+z2)-3(w1+w2)r)
Por outro lado,
T(A) + T(B) = (x1+y1,;x1-2y1,;z1-3w1) + (x2+y2,;x2-2y2,;z2-3w2),
que coincide com o resultado acima. Logo
T(A+B) = T(A) + T(B)

Passo 3

(Teste de homogeneidade)
Seja alphainR. Então
alpha A = alpha x & alpha y alpha z & alpha w
e
T(alpha A) = (alpha x + alpha y,;alpha x - 2alpha y,;alpha z - 3alpha w) = alpha,(x+y,;x-2y,;z-3w) = alpha,T(A)
Assim
T(alpha A) = alpha,T(A)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

Exercícios relacionados