Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear no qual T(1)=3-2 x, T(x)=4 x-x^2 e T(x^2)=2+2 x^2. Encontre T(a+b x+c x^2) e T(6+x-4 x^2).

Passo 1

O enunciado define um operador linear TcolonP2(R)toP2(R) com
T(1)=3-2x, T(x)=4x - x^2, T(x^2)=2+2x^2
Queremos usar a linearidade para calcular primeiro
Tl(a + b x + c x^2r)
e depois o caso particular
Tl(6 + x - 4x^2r)
Vamos precisar da propriedade de linearidade: para polinômios p,q e escalares alpha,beta,
T(alpha p + beta q)=alpha,T(p)+beta,T(q)

Passo 2

Escrevemos
a + b x + c x^2 = acdot1 + bcdot x + ccdot x^2
e aplicamos a linearidade:
Tl(a + b x + c x^2r) = a,T(1) ;+; b,T(x);+; c,T(x^2)
Substituindo as imagens dadas:
a,(3-2x);+;b,(4x - x^2);+;c,(2+2x^2)
Agora somamos termo a termo:
  • termo constante: 3a + 2c,
  • coeficiente de x: -2a + 4b,
  • coeficiente de x^2: -b + 2c.
Logo
Tl(a + b x + c x^2r) = (3a+2c);+;(-2a+4b),x;+;(-b+2c),x^2

Passo 3

Para o polinômio 6 + x - 4x^2 temos a=6, b=1, c=-4. Substituindo na fórmula geral:
  • termo constante: 3cdot6 + 2cdot(-4)=18 - 8 =10,
  • coeficiente de x: -2cdot6 + 4cdot1 = -12 +4 = -8,
  • coeficiente de x^2: -1 + 2cdot(-4) = -1 -8 = -9.
Portanto
Tl(6 + x - 4x^2r)=10 -8x -9x^2

Resposta

Tl(a + b x + c x^2r) = (3a+2c) + (-2a+4b),x + (-b+2c),x^2,
Tl(6 + x - 4x^2r) = 10 - 8x - 9x^2

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