Questão 8. Determine o domínio da função f(x) igual a
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x^{n}}{\ln n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n}}{\ln n}
e pede o domínio da função f(x) definida por essa série, ou seja, o conjunto de x\in\mathbb{R} para os quais a série converge. Informação relevante: a série é uma série de potências centrada em 0 com coeficientes a_n=\dfrac{1}{\ln n} (para n\ge2). A resolução começará determinando o raio de convergência e então investigando os dois pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Explicação da ideia geral (fórmula que vou usar para o raio de convergência).
Uma série de potências \sum_{n} a_n x^n tem raio de convergência R dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Significado: para |x|<R a série converge absolutamente; para |x|>R diverge; nos pontos |x|=R é preciso analisar caso a caso.
Aqui a_n=\dfrac{1}{\ln n}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Para isso é útil observar o comportamento da raiz enésima de a_n.

Passo 3

Cálculo do raio de convergência.
Calculo a raiz enésima e seu limite:
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{\ln n}\right)^{1/n}.
Para avaliar o limite desta expressão, tomo logaritmo (isso facilita ver o comportamento quando elevamos à potência 1/n):
\ln\!\big((\ln n)^{-1/n}\big) = -\frac{1}{n}\ln(\ln n).
Como \ln(\ln n) cresce muito mais lentamente que n, temos
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\ln(\ln n)\right)=0,
portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\ln n}\right)^{1/n}=e^{0}=1.
Assim \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1 e pelo critério do raio
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação: a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Ainda faltam os pontos x=1 e x=-1.

Passo 4

Análise do ponto x=1.
No caso x=1 a série torna-se
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}.
Preciso decidir se essa série de termos positivos converge ou diverge. Vou usar o teste da condensação de Cauchy (uma ferramenta útil aqui).
Enunciado do teste (em linguagem simples): se (b_n) é uma sequência positiva e monótona decrescente, então \sum b_n converge se, e somente se, a série condensada \sum 2^k b_{2^k} converge.
Verifico as hipóteses: b_n=\dfrac{1}{\ln n} é positiva e, para n\ge3, é decrescente e tende a 0. Aplico a condensação:
2^k b_{2^k} = 2^k\cdot\frac{1}{\ln(2^k)}=\frac{2^k}{k\ln 2}.
A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k\ln 2} claramente diverge porque os termos \frac{2^k}{k\ln 2} não tendem a zero (na verdade crescem exponencialmente em k). Logo a série condensada diverge, e pelo teste de Cauchy a série original \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln n} diverge.
Conclusão: no ponto x=1 a série diverge.

Passo 5

Análise do ponto x=-1.
No caso x=-1 a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln n}.
Trata-se de uma série alternada com termos em módulo b_n=\dfrac{1}{\ln n}. Vou usar o critério de Leibniz (teste da série alternada):
Teste de Leibniz (em palavras): se b_n\ge0, b_n é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Já verificamos anteriormente que b_n=\dfrac{1}{\ln n} é decrescente (a partir de algum n, por exemplo n\ge3) e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo a série alternada converge. Para completar: a convergência é condicional, não absoluta, porque a série dos módulos é a mesma de x=1, que diverge. Assim em x=-1 a série converge, mas não absolutamente.

Passo 6

Conclusão final sobre o domínio.
Juntando tudo:
  • Converge absolutamente para |x|<1.
  • Diverge para x=1.
  • Converge condicionalmente para x=-1.
  • Diverge para |x|>1.
Portanto o domínio real da função f é o intervalo
[-1,1).

Resposta

[-1,1)

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