Questão 8. Determine o domínio da função
igual a
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede o domínio da função
definida por essa série, ou seja, o conjunto de
para os quais a série converge. Informação relevante: a série é uma série de potências centrada em
com coeficientes
(para
). A resolução começará determinando o raio de convergência e então investigando os dois pontos extremos
e
.
Passo 2
Explicação da ideia geral (fórmula que vou usar para o raio de convergência).
Uma série de potências
tem raio de convergência
dado por
Significado: para
a série converge absolutamente; para
diverge; nos pontos
é preciso analisar caso a caso.
Aqui
. Vou calcular
. Para isso é útil observar o comportamento da raiz enésima de
.
Passo 3
Cálculo do raio de convergência.
Calculo a raiz enésima e seu limite:
Para avaliar o limite desta expressão, tomo logaritmo (isso facilita ver o comportamento quando elevamos à potência
):
Como
cresce muito mais lentamente que
, temos
portanto
Assim
e pelo critério do raio
Interpretação: a série converge absolutamente para
e diverge para
. Ainda faltam os pontos
e
.
Passo 4
Análise do ponto
.
No caso
a série torna-se
Preciso decidir se essa série de termos positivos converge ou diverge. Vou usar o teste da condensação de Cauchy (uma ferramenta útil aqui).
Enunciado do teste (em linguagem simples): se
é uma sequência positiva e monótona decrescente, então
converge se, e somente se, a série condensada
converge.
Verifico as hipóteses:
é positiva e, para
, é decrescente e tende a
. Aplico a condensação:
A série
claramente diverge porque os termos
não tendem a zero (na verdade crescem exponencialmente em
). Logo a série condensada diverge, e pelo teste de Cauchy a série original
diverge.
Conclusão: no ponto
a série diverge.
Passo 5
Análise do ponto
.
No caso
a série fica
Trata-se de uma série alternada com termos em módulo
. Vou usar o critério de Leibniz (teste da série alternada):
Teste de Leibniz (em palavras): se
,
é monótona decrescente e
, então
converge.
Já verificamos anteriormente que
é decrescente (a partir de algum
, por exemplo
) e
. Logo a série alternada converge. Para completar: a convergência é condicional, não absoluta, porque a série dos módulos é a mesma de
, que diverge. Assim em
a série converge, mas não absolutamente.
Passo 6
Conclusão final sobre o domínio.
Juntando tudo:
- Converge absolutamente para
. - Diverge para
. - Converge condicionalmente para
. - Diverge para
.
Portanto o domínio real da função
é o intervalo