Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores que
pode assumir) e esboçar o gráfico. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos reescrever a função de forma que fique fácil identificar vértice, concavidade e valores máximos/minimos. A técnica mais direta aqui é completar o quadrado. Começamos escrevendo
Coloco o sinal negativo em evidência:
Agora observo o conteúdo entre parênteses:
. Para completar o quadrado para um polinômio do tipo
a regra é somar e subtrair
. Aqui
, então
. Como já aparece
, isso indica que é um quadrado perfeito:
Portanto temos a forma
Passo 3
Interpretação da forma
:
- O termo
é sempre não negativo: para todo . - O sinal negativo à frente faz com que
para todo . - O valor máximo ocorre quando
, ou seja, em .
Calculo o valor em:
Logo o vértice da parábola é o ponto
(máximo).
Passo 4
Determinar domínio: a função é um polinômio (grau 2). Polinômios estão definidos para todo número real, portanto
Expliquei: não há restrições de divisão por zero, raiz par de número negativo, logaritmo etc., então todo
real é permitido.
Passo 5
Determinar a imagem (conjunto-valor): a partir de
sabemos que
, então
O maior valor possível é
, atingido em
. Não há limite inferior (pode tender a
quando
). Portanto a imagem é
Passo 6
Raízes e interceptos (úteis para o esboço):
Para achar as raízes, resolvo :
Para achar as raízes, resolvo
É uma raiz dupla em
(isto explica por que a parábola apenas toca o eixo
em
). O intercepto com o eixo
é
:
então intercepto em
.
Passo 7
Alguns pontos simétricos para desenhar:
Calculo alguns valores próximos ao vértice para ter forma do arco:
Calculo alguns valores próximos ao vértice para ter forma do arco:
Esses pontos mostram a simetria em torno da reta
(eixo de simetria).
Passo 8
Como esboçar o gráfico rápido na prova (passo a passo prático):
- Coloco o vértice em
(ponto de máximo). - Desenho a reta vertical eixo de simetria
. - Marco o intercepto com
em e a raiz dupla em . - Marco pontos simétricos como
, , , . - Desenho uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo), passando pelos pontos marcados e tocando o eixo apenas em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço: vértice em ; abre para baixo; intercepto em
; raiz dupla em
; pontos de apoio
.
Imagem:
Esboço: vértice em