Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-x^{2}+6 x-9

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores que f pode assumir) e esboçar o gráfico. A função dada é
f(x)=-x^{2}+6x-9.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o único dado é a expressão }f(x)=-x^{2}+6x-9.úéã

Passo 2

Vamos reescrever a função de forma que fique fácil identificar vértice, concavidade e valores máximos/minimos. A técnica mais direta aqui é completar o quadrado. Começamos escrevendo
f(x)=-x^{2}+6x-9.
Coloco o sinal negativo em evidência:
f(x)=-(x^{2}-6x+9).
Agora observo o conteúdo entre parênteses: x^{2}-6x+9. Para completar o quadrado para um polinômio do tipo x^{2}+bx a regra é somar e subtrair \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Aqui b=-6, então \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9. Como já aparece +9, isso indica que é um quadrado perfeito:
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Portanto temos a forma
f(x)=-(x-3)^{2}.

Passo 3

Interpretação da forma \;f(x)=-(x-3)^{2}\;:
  • O termo (x-3)^{2} é sempre não negativo: (x-3)^{2}\ge 0 para todo x.
  • O sinal negativo à frente faz com que f(x)\le 0 para todo x.
  • O valor máximo ocorre quando (x-3)^{2}=0, ou seja, em x=3.
    Calculo o valor em x=3:
f(3)=-(3-3)^{2}=0.
Logo o vértice da parábola é o ponto (3,0) (máximo).

Passo 4

Determinar domínio: a função é um polinômio (grau 2). Polinômios estão definidos para todo número real, portanto
\text{Domínio} = \mathbb{R} = (-\infty,\infty).í
Expliquei: não há restrições de divisão por zero, raiz par de número negativo, logaritmo etc., então todo x real é permitido.

Passo 5

Determinar a imagem (conjunto-valor): a partir de \;f(x)=-(x-3)^{2}\; sabemos que (x-3)^{2}\ge 0, então
f(x)\le 0\quad\text{para todo }x.
O maior valor possível é 0, atingido em x=3. Não há limite inferior (pode tender a -\infty quando |x|\to\infty). Portanto a imagem é
\text{Imagem} = (-\infty,0].

Passo 6

Raízes e interceptos (úteis para o esboço):
Para achar as raízes, resolvo f(x)=0:
-(x-3)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
É uma raiz dupla em (3,0) (isto explica por que a parábola apenas toca o eixo x em x=3). O intercepto com o eixo y é f(0):
f(0)=-0+0-9=-9,
então intercepto em (0,-9).

Passo 7

Alguns pontos simétricos para desenhar:
Calculo alguns valores próximos ao vértice para ter forma do arco:
f(2)=-(2-3)^{2}=-( -1)^{2}=-1.
f(4)=-(4-3)^{2}=-(1)^{2}=-1.
f(1)=-(1-3)^{2}=-( -2)^{2}=-4.
f(5)=-(5-3)^{2}=-(2)^{2}=-4.
Esses pontos mostram a simetria em torno da reta x=3 (eixo de simetria).

Passo 8

Como esboçar o gráfico rápido na prova (passo a passo prático):
  1. Coloco o vértice em \,(3,0)\, (ponto de máximo).
  2. Desenho a reta vertical eixo de simetria x=3.
  3. Marco o intercepto com y em (0,-9) e a raiz dupla em (3,0).
  4. Marco pontos simétricos como (2,-1), (4,-1), (1,-4), (5,-4).
  5. Desenho uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de x^{2} é negativo), passando pelos pontos marcados e tocando o eixo x apenas em (3,0).

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (-\infty,0]
Esboço: vértice em (3,0); abre para baixo; intercepto em (0,-9); raiz dupla em (3,0); pontos de apoio (2,-1),(4,-1),(1,-4),(5,-4).

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