Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
f(x)=2 x-\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f definida por
f(x)=2x-\tfrac{3}{4}.
As perguntas são:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores que f assume).
  3. Esboçar o gráfico de f.
Informações dadas: a fórmula explícita da função é \;f(x)=2x-\tfrac{3}{4}\;. Não há figuras ou restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Entendendo o domínio: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido. Aqui a expressão é uma combinação linear de x — multiplicação por 2 e subtração de \tfrac{3}{4} — operações bem definidas para qualquer número real. Logo, não existe nenhum x proibido (como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo). Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Explicando o conceito de imagem (ou contradomínio efetivo): a imagem é o conjunto de valores y que aparecem quando calculamos y=f(x) variando x no domínio. Uma forma prática de decidir se um certo y pode ser obtido é tentar resolver a equação y=2x-\tfrac{3}{4} para x. Se para todo y real existir um x real que satisfaça essa equação, então a imagem é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Fazendo a conta para mostrar que qualquer y\in\mathbb{R} é atingido: comece com
y=2x-\tfrac{3}{4}.
Isolando x,
2x = y + \tfrac{3}{4},
x = \frac{y+\tfrac{3}{4}}{2} = \frac{y}{2} + \tfrac{3}{8}.
A expressão \;x=\dfrac{y}{2}+\tfrac{3}{8}\; é um número real para qualquer y\in\mathbb{R}. Isso mostra que, dado qualquer valor real y, existe um x real que produz esse y. Portanto a imagem é todo o conjunto dos números reais.

Passo 5

Interpretação geométrica e elementos úteis para o esboço:
  • A função é afim (uma reta) com coeficiente angular (inclinação) \;2. Isso significa que para cada aumento unitário em x a função aumenta em 2 unidades em y — pensar “sobe 2 para a direita 1” ajuda no desenho.
  • O termo independente (ordenada na origem) é -\tfrac{3}{4}. Ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo y é (0,-\tfrac{3}{4}).
  • O zero da função (interseção com o eixo x) obtém-se resolvendo 2x-\tfrac{3}{4}=0, que dá
2x=\tfrac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{8}.
Portanto a reta cruza o eixo x em (\tfrac{3}{8},0).

Passo 6

Escolhendo pontos para desenhar (estratégia prática para prova): basta 2 pontos não coincidentes para traçar a reta. Usamos:
  • x=0\Rightarrow f(0)=-\tfrac{3}{4}, ponto (0,-\tfrac{3}{4}).
  • x=1\Rightarrow f(1)=2\cdot 1-\tfrac{3}{4}= \tfrac{5}{4}, ponto (1,\tfrac{5}{4}).
    Com esses dois pontos já podemos traçar a reta: ligue (0,-\tfrac{3}{4}) a (1,\tfrac{5}{4}) e estenda a linha indefinidamente em ambas as direções.

Passo 7

Como esboçar rapidamente no caderno (dicas passo a passo): desenhe os eixos x e y; marque a origem (0,0); marque (0,-\tfrac{3}{4}) um pouco abaixo do zero no eixo y; marque (1,\tfrac{5}{4}) acima de y=1; trace a linha reta passando por esses pontos e passe-a também pelos pontos (\tfrac{3}{8},0) e por qualquer outro ponto seguindo a inclinação “sobe 2 para a direita 1”. Adicione setas nas extremidades para indicar que a reta é infinita.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: reta de inclinação 2 que passa por (0,-\tfrac{3}{4}) e (1,\tfrac{5}{4}) (cruza o eixo x em (\tfrac{3}{8},0)).

Exercícios relacionados