Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
definida por
As perguntas são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume). - Esboçar o gráfico de
.
Informações dadas: a fórmula explícita da função é
. Não há figuras ou restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Entendendo o domínio: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido. Aqui a expressão é uma combinação linear de
— multiplicação por
e subtração de
— operações bem definidas para qualquer número real. Logo, não existe nenhum
proibido (como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo). Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Explicando o conceito de imagem (ou contradomínio efetivo): a imagem é o conjunto de valores
que aparecem quando calculamos
variando
no domínio. Uma forma prática de decidir se um certo
pode ser obtido é tentar resolver a equação
para
. Se para todo
real existir um
real que satisfaça essa equação, então a imagem é todo
.
Passo 4
Fazendo a conta para mostrar que qualquer
é atingido: comece com
Isolando
,
A expressão
é um número real para qualquer
. Isso mostra que, dado qualquer valor real
, existe um
real que produz esse
. Portanto a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Passo 5
Interpretação geométrica e elementos úteis para o esboço:
- A função é afim (uma reta) com coeficiente angular (inclinação)
. Isso significa que para cada aumento unitário em a função aumenta em unidades em — pensar “sobe 2 para a direita 1” ajuda no desenho. - O termo independente (ordenada na origem) é
. Ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo é . - O zero da função (interseção com o eixo
) obtém-se resolvendo , que dá
Portanto a reta cruza o eixo
em
.
Passo 6
Escolhendo pontos para desenhar (estratégia prática para prova): basta 2 pontos não coincidentes para traçar a reta. Usamos:
-
, ponto . -
, ponto .
Com esses dois pontos já podemos traçar a reta: liguea e estenda a linha indefinidamente em ambas as direções.
Passo 7
Como esboçar rapidamente no caderno (dicas passo a passo): desenhe os eixos
e
; marque a origem
; marque
um pouco abaixo do zero no eixo
; marque
acima de
; trace a linha reta passando por esses pontos e passe-a também pelos pontos
e por qualquer outro ponto seguindo a inclinação “sobe 2 para a direita 1”. Adicione setas nas extremidades para indicar que a reta é infinita.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: reta de inclinação que passa por
e
(cruza o eixo
em
).
Imagem:
Gráfico: reta de inclinação