Questão 9: Determine a energia cinética (J) de um sistema massa-mola com uma constante elástica k =1,20 \mathrm{~N} / \mathrm{cm} e uma amplitude de oscilação 0,12 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética (em joules) de um sistema massa-mola com os seguintes dados fornecidos:
  • constante elástica: k = 1,20\\ \mathrm{N/cm}
  • amplitude da oscilação: A = 0,12\\ \mathrm{m}
A pergunta implícita é: qual é a energia cinética máxima do sistema durante a oscilação? (Em um oscilador harmônico simples, a energia cinética atinge seu valor máximo quando a massa passa pela posição de equilíbrio.)

Passo 2

Primeiro converto a unidade de k para o SI ( \mathrm{N/m}), porque a fórmula de energia usa k em \mathrm{N/m}.
1\\ \mathrm{N/cm} = 100\\ \mathrm{N/m}
Portanto,
k = 1,20\\ \mathrm{N/cm} = 1,20 \times 100\\ \mathrm{N/m} = 120\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Vou explicar as fórmulas que vamos usar de forma bem didática.
  • Energia potencial elástica de uma mola: quando a mola está deslocada de sua posição de equilíbrio por uma elongação x, a energia potencial armazenada é
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde:
  • U(x) é a energia potencial (em joules),
  • k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}),
  • x é a elongação (em metros).
  • Energia cinética de uma massa em movimento é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética (em joules),
  • m é a massa (em kg),
  • v é a velocidade (em m/s).
  • Conservação da energia mecânica (sem atrito): a soma da energia cinética e da energia potencial é constante:
E_{\text{total}} = K + U = \text{constante}.
No movimento harmônico simples, o máximo de energia potencial ocorre nos extremos ( x=\pm A, onde v=0) e o máximo de energia cinética ocorre na posição de equilíbrio ( x=0, onde U=0). Logo, a energia mecânica total (que é fixa) vale, em particular,
E_{\text{total}} = U(A) = \tfrac{1}{2}k A^{2},
e esse valor é igual à energia cinética máxima K_{\max}.

Passo 4

Portanto a expressão que usamos para a energia cinética máxima é
K_{\max} = \tfrac{1}{2}k A^{2},
onde:
  • k já convertida para \mathrm{N/m},
  • A é a amplitude em metros.

Passo 5

Agora calculo passo a passo com os números dados.
Calculo de A^{2}:
A^{2} = (0,12)^{2} = 0,0144.
Produto k A^{2}:
k A^{2} = 120 \times 0,0144 = 1,728.
Metade disso (energia total / energia cinética máxima):
K_{\max} = \tfrac{1}{2}\times 1,728 = 0,864\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Sobre arredondamento: k foi dado com três algarismos significativos ( 1,20) e A com dois ( 0,12), então o resultado deve ser reportado com cerca de dois algarismos significativos se seguir estritamente as regras de algarismos significativos — isso daria 0,86\\ \mathrm{J}. Mantive o valor não arredondado a três casas decimais significativas como cálculo direto: 0,864\\ \mathrm{J}. Em provas, verifique a instrução do professor sobre quantos algarismos pedir.

Passo 7

Dica rápida para a prova: memorize que a energia total de um oscilador massa-mola sem atrito é sempre \tfrac{1}{2}kA^{2}. Assim, basta converter k para \mathrm{N/m} e inserir A em metros. Exemplo rápido: se k=200\\ \mathrm{N/m} e A=0,10\\ \mathrm{m}, então E=\tfrac{1}{2}\times200\times(0,10)^{2}=1{,}0\\ \mathrm{J}.

Resposta

0,864\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados