Um secador de cabelos é constituído de um duto com diâmetro constante revestido de resistores elétricos. Ao passa o ar pelos resistores este é aquecido. Sabendo-se que a densidade do ar de entrada é de 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} na entrada e de 1,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} na saída, determine o aumento percentual da velocidade do ar através do secador.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o aumento percentual da velocidade do ar ao atravessar o secador. Informações fornecidas:
  • Duto de diâmetro constante (logo área da seção transversal constante).
  • Densidade do ar na entrada: \rho_{\text{in}} = 1,5\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Densidade do ar na saída: \rho_{\text{out}} = 1,1\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Pergunta clara: qual é o aumento percentual da velocidade do ar entre entrada e saída?

Passo 2

Conservação da massa (explicação didática). Em regime estacionário (fluxo constante no tempo), a massa que entra por segundo deve ser igual à massa que sai por segundo. A taxa de massa (vazão mássica) é dada por:
\dot{m}=\rho A v,
onde:
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • A é a área da seção transversal do duto (m²),
  • v é a velocidade média do fluido (m/s).
Como o duto tem diâmetro (e portanto área) constante e o fluxo é estacionário, temos:
\rho_{\text{in}} A v_{\text{in}}=\rho_{\text{out}} A v_{\text{out}}.
Cancelando A (porque é igual nos dois pontos):
\rho_{\text{in}} v_{\text{in}}=\rho_{\text{out}} v_{\text{out}}.

Passo 3

Isolamos a razão entre velocidades a partir da igualdade anterior:
\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}=\frac{\rho_{\text{in}}}{\rho_{\text{out}}}.
Isto significa que, com área fixa, a velocidade varia inversamente com a densidade: quando a densidade diminui, a velocidade aumenta numa proporção igual à razão das densidades.

Passo 4

Substituindo os valores fornecidos (peguei os valores de densidade do enunciado):
\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}=\frac{1,5}{1,1}=\frac{15}{11}=1,3636\ldots
A variação relativa da velocidade (aumento fracionário) é
\frac{v_{\text{out}}-v_{\text{in}}}{v_{\text{in}}}=\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}-1=1,3636\ldots-1=0,3636\ldots
Para transformar em porcentagem, multiplica-se por 100\%:
\text{aumento percentual}=\biggl(\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}-1\biggr)\times100\% \approx 36,36\%.

Passo 5

Interpretação final curta e ânimo: a velocidade do ar aumenta porque o aquecimento reduz a densidade e, mantendo-se a massa por segundo constante e a área fixa, o ar precisa acelerar. Resultado prático: aproximadamente um terço mais rápido na saída — é um ganho considerável. Força na prova, você está indo bem!

Resposta

36,36\%

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