Questão 2: Para cada uma das funções z=f(x, y) dadas:
(i) (1,0) f(x, y)=\frac{7 x^{2} y^{2}}{2 x^{2}+2 y^{2}} ; (ii) (i i)(1,0) f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
a) Diga onde estão definidas.
b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), quando (x, y) se aproxima de (0,0) por retas do tipo y=k x.
c) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), quando ( x, y ) se aproxima de ( 0,0 ) por parábolas do tipo y=k x^{2}.
d) O que podemos concluir sobre \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ? Caso suspeite que este limite exista, use a definição de limite para tentar provar que sua suspeita é o limite procurado.
e) Para aqueles que concluíram que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe, não precisa fazer este item. Para aqueles que concluíram que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe, use coordenadas polares para concluir novamente que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) vale o valor provado no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das duas funções z=f(x,y) dadas, que façamos os itens (a) a (e). Escrevo aqui, de forma explícita, as perguntas e as informações dadas para não nos perdermos:
  • Função (i): f(x,y)=\dfrac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}.
  • Função (ii): f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
As perguntas que devemos responder para cada função são:
a) Onde a função está definida (domínio)?
b) Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando (x,y) se aproxima por retas do tipo y=kx.
c) Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando (x,y) se aproxima por parábolas do tipo y=kx^{2}.
d) Concluir se o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe; se suspeitarmos que existe, tentar provar usando a definição de limite (épsilon-delta).
e) Se concluirmos que o limite existe, repetir a conclusão usando coordenadas polares; se concluirmos que não existe, pular o item (e).
Agora que está claro o que o exercício pede e quais são as funções, começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Domínios (item a) — analisando os denominadores:
  • Para (i): o denominador é 2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2}). Esse denominador é zero exatamente em (x,y)=(0,0). Logo o domínio é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
  • Para (ii): o denominador é x^{2}+y^{2}, que também é zero somente em (0,0). Logo o domínio é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Observação: em ambos os casos a única possível “problema” é o ponto (0,0); fora dele a função é bem definida.

Passo 3

Cálculo das limites ao longo de retas y=kx para a função (i) (item b):
Substituo y=kx em f(x,y)=\dfrac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}:
f(x,kx)=\frac{7x^{2}(kx)^{2}}{2x^{2}+2(kx)^{2}}=\frac{7k^{2}x^{4}}{2(1+k^{2})x^{2}}=\frac{7k^{2}x^{2}}{2(1+k^{2})}.
Quando (x,y)\to(0,0) pela reta y=kx isso significa x\to0, portanto
\lim_{x\to0} f(x,kx)=\lim_{x\to0}\frac{7k^{2}x^{2}}{2(1+k^{2})}=0.
Conclusão: ao aproximar por qualquer reta y=kx, o limite é 0.

Passo 4

Cálculo das limites ao longo de parábolas y=kx^{2} para a função (i) (item c):
Substituo y=kx^{2}:
f(x,kx^{2})=\frac{7x^{2}(k^{2}x^{4})}{2x^{2}+2k^{2}x^{4}}=\frac{7k^{2}x^{6}}{2x^{2}(1+k^{2}x^{2})}=\frac{7k^{2}x^{4}}{2(1+k^{2}x^{2})}.
Quando x\to0 isso tende a 0 (pois numerador tem x^{4} e denominador tem termo que tende a 2). Portanto
\lim_{x\to0} f(x,kx^{2})=0.
Conclusão: ao aproximar por qualquer parábola y=kx^{2}, o limite é 0.

Passo 5

Prova rigorosa por épsilon-delta de que para a função (i) o limite é 0 (item d):
Queremos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}=0.
Primeiro fazemos uma desigualdade que nos ajuda a dominar a função. Note que x^{2}\ge0, y^{2}\ge0. Pelo desvio entre média e produto (uma forma de AM–GM), temos
x^{2}y^{2}\le\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Então
\left|\frac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}\right| =\frac{7x^{2}y^{2}}{2(x^{2}+y^{2})} \le\frac{7}{2}\cdot\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4(x^{2}+y^{2})} =\frac{7}{8}(x^{2}+y^{2}).
Denotando r^{2}=x^{2}+y^{2}, obtemos
|f(x,y)|\le\frac{7}{8}r^{2}.
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\min\{1,\sqrt{\tfrac{8\varepsilon}{7}}\}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então r^{2}<\tfrac{8\varepsilon}{7} e assim
|f(x,y)|\le\frac{7}{8}r^{2}<\frac{7}{8}\cdot\frac{8\varepsilon}{7}=\varepsilon.
Isso mostra a propriedade épsilon-delta e prova que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Confirmação usando coordenadas polares para a função (i) (item e):
Colocando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta temos
f(r,\theta)=\frac{7(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}}{2(r\cos\theta)^{2}+2(r\sin\theta)^{2}} =\frac{7r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{2r^{2}} =\frac{7}{2}r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Como \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\le 1, temos |f(r,\theta)|\le \tfrac{7}{2}r^{2}, e quando r\to0 isso vai para 0, independente de \theta. Portanto a coordenada polar confirma que o limite é 0.

Passo 7

Cálculo das limites ao longo de retas y=kx para a função (ii) (item b):
Substituo y=kx em f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}:
f(x,kx)=\frac{x^{2}-k^{2}x^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.
Importante: essa expressão não depende de x. Logo, ao aproximar por qualquer reta y=kx (com k fixo), o limite é
\lim_{x\to0} f(x,kx)=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.
Como esse valor depende de k, já temos indicação forte de que o limite total pode não existir (por exemplo, diferente para k=0 e k=1). Vou explorar isso com mais caminhos.

Passo 8

Cálculo das limites ao longo de parábolas y=kx^{2} para a função (ii) (item c):
Substituo y=kx^{2}:
f(x,kx^{2})=\frac{x^{2}-k^{2}x^{4}}{x^{2}+k^{2}x^{4}} =\frac{1-k^{2}x^{2}}{1+k^{2}x^{2}}.
Quando x\to0 o termo k^{2}x^{2}\to0, portanto
\lim_{x\to0} f(x,kx^{2})=\frac{1-0}{1+0}=1.
Conclusão: ao aproximar por qualquer parábola y=kx^{2}, o limite é 1.

Passo 9

Conclusão sobre existência do limite para a função (ii) (item d):
Vimos que ao aproximar por retas y=kx obtemos o valor \dfrac{1-k^{2}}{1+k^{2}}, e ao aproximar por parábolas y=kx^{2} obtemos 1. Note que, por exemplo:
  • Para a reta y=0 (ou k=0) o limite vale \dfrac{1-0}{1+0}=1.
  • Para a reta y=x (ou k=1) o limite vale \dfrac{1-1}{1+1}=0.
    Logo dois caminhos distintos (a reta y=0 e a reta y=x) levam a limites diferentes ( 1 e 0 respectivamente). Isso já é suficiente para concluir que o limite total em (0,0) não existe, porque um limite em várias variáveis só existe se for o mesmo por todo caminho de aproximação. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe.

Passo 10

Comentário didático final e reforço (empatia e dica para prova):
  • Para decidir existência de limite em \mathbb{R}^{2} é muito útil testar aproximações por retas y=kx. Se o limite ao longo das retas depender de k, o limite global não existe.
  • Mesmo se as retas derem sempre o mesmo valor, ainda é preciso testar curvas não-lineares (por exemplo parábolas) ou fazer uma prova épsilon-delta ou usar coordenadas polares para garantir a existência.
  • No caso (i) as retas e parábolas deram sempre 0 e fizemos a prova épsilon-delta (ou polar) para concluir rigorosamente que o limite existe e vale 0.
  • No caso (ii) encontramos direções com resultados diferentes ( 1, 0, etc.), portanto o limite não existe.

Resposta

(i) a) Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(i) b) Pelo caminho y=kx: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(i) c) Pelo caminho y=kx^{2}: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(i) d) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}=0.
(i) e) Em coordenadas polares f=\dfrac{7}{2}r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\to0 quando r\to0, confirmando o resultado.
(ii) a) Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(ii) b) Pelo caminho y=kx: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}} (depende de k).
(ii) c) Pelo caminho y=kx^{2}: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1.
(ii) d) Conclusão: o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe (diferentes caminhos dão valores diferentes).
(ii) e) Não aplicável (limite inexistente).

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