Questão 2: Para cada uma das funções z=f(x, y) dadas:
(i)(1,0) f(x, y)=\frac{7 x^{2} y^{2}}{2 x^{2}+2 y^{2}} ;
(ii) (i i)(1,0) f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
a) Diga onde estão definidas.
b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), quando (x, y) se aproxima de (0,0) por retas do tipo y=k x.
c) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), quando ( x, y ) se aproxima de ( 0,0 ) por parábolas do tipo y=k x^{2}.
d) O que podemos concluir sobre \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ? Caso suspeite que este limite exista, use a definição de limite para tentar provar que sua suspeita é o limite procurado.
e) Para aqueles que concluíram que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe, não precisa fazer este item. Para aqueles que concluíram que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe, use coordenadas polares para concluir novamente que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) vale o valor provado no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das duas funções z=f(x,y) dadas, que façamos os itens (a) a (e). Escrevo aqui, de forma explícita, as perguntas e as informações dadas para não nos perdermos:
As perguntas que devemos responder para cada função são:
a) Onde a função está definida (domínio)?
b) Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando (x,y) se aproxima por retas do tipo y=kx.
c) Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando (x,y) se aproxima por parábolas do tipo y=kx^{2}.
d) Concluir se o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe; se suspeitarmos que existe, tentar provar usando a definição de limite (épsilon-delta).
e) Se concluirmos que o limite existe, repetir a conclusão usando coordenadas polares; se concluirmos que não existe, pular o item (e).
Agora que está claro o que o exercício pede e quais são as funções, começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Domínios (item a) — analisando os denominadores:
Para (i): o denominador é 2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2}). Esse denominador é zero exatamente em (x,y)=(0,0). Logo o domínio é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Para (ii): o denominador é x^{2}+y^{2}, que também é zero somente em (0,0). Logo o domínio é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Observação: em ambos os casos a única possível “problema” é o ponto (0,0); fora dele a função é bem definida.
Passo 3
Cálculo das limites ao longo de retas y=kx para a função (i) (item b):
Substituo y=kx em f(x,y)=\dfrac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}:
Primeiro fazemos uma desigualdade que nos ajuda a dominar a função. Note que x^{2}\ge0, y^{2}\ge0. Pelo desvio entre média e produto (uma forma de AM–GM), temos
Como \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\le 1, temos |f(r,\theta)|\le \tfrac{7}{2}r^{2}, e quando r\to0 isso vai para 0, independente de \theta. Portanto a coordenada polar confirma que o limite é 0.
Passo 7
Cálculo das limites ao longo de retas y=kx para a função (ii) (item b):
Substituo y=kx em f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}:
Importante: essa expressão não depende de x. Logo, ao aproximar por qualquer reta y=kx (com k fixo), o limite é
\lim_{x\to0} f(x,kx)=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.
Como esse valor depende de k, já temos indicação forte de que o limite total pode não existir (por exemplo, diferente para k=0 e k=1). Vou explorar isso com mais caminhos.
Passo 8
Cálculo das limites ao longo de parábolas y=kx^{2} para a função (ii) (item c):
Substituo y=kx^{2}:
Conclusão: ao aproximar por qualquer parábola y=kx^{2}, o limite é 1.
Passo 9
Conclusão sobre existência do limite para a função (ii) (item d):
Vimos que ao aproximar por retas y=kx obtemos o valor \dfrac{1-k^{2}}{1+k^{2}}, e ao aproximar por parábolas y=kx^{2} obtemos 1. Note que, por exemplo:
Para a reta y=0 (ou k=0) o limite vale \dfrac{1-0}{1+0}=1.
Para a reta y=x (ou k=1) o limite vale \dfrac{1-1}{1+1}=0.
Logo dois caminhos distintos (a reta y=0 e a reta y=x) levam a limites diferentes (1 e 0 respectivamente). Isso já é suficiente para concluir que o limite total em (0,0) não existe, porque um limite em várias variáveis só existe se for o mesmo por todo caminho de aproximação. Portanto
Comentário didático final e reforço (empatia e dica para prova):
Para decidir existência de limite em \mathbb{R}^{2} é muito útil testar aproximações por retas y=kx. Se o limite ao longo das retas depender de k, o limite global não existe.
Mesmo se as retas derem sempre o mesmo valor, ainda é preciso testar curvas não-lineares (por exemplo parábolas) ou fazer uma prova épsilon-delta ou usar coordenadas polares para garantir a existência.
No caso (i) as retas e parábolas deram sempre 0 e fizemos a prova épsilon-delta (ou polar) para concluir rigorosamente que o limite existe e vale 0.
No caso (ii) encontramos direções com resultados diferentes (1, 0, etc.), portanto o limite não existe.
Resposta
(i) a) Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(i) b) Pelo caminho y=kx: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(i) c) Pelo caminho y=kx^{2}: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(i) d) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{7x^{2}y^{2}}{2x^{2}+2y^{2}}=0.
(i) e) Em coordenadas polares f=\dfrac{7}{2}r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\to0 quando r\to0, confirmando o resultado.
(ii) a) Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(ii) b) Pelo caminho y=kx: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}} (depende de k).
(ii) c) Pelo caminho y=kx^{2}: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1.
(ii) d) Conclusão: o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe (diferentes caminhos dão valores diferentes).
(ii) e) Não aplicável (limite inexistente).