Questão 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
e paralela à reta
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- Foi dada a curva
. - Foi dada a reta
. - O que precisamos determinar: a equação da reta tangente ao gráfico da curva que seja paralela à reta dada.
Informações úteis retiradas do enunciado:
- A curva é
. - A reta de referência é
. - “Paralela” significa que a reta tangente deve ter o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) da reta de referência.
Passo 2
Encontrar o coeficiente angular (declive) da reta de referência
.
Para isso isolamos :
Para isso isolamos
Logo o coeficiente angular (inclinação) da reta dada é
.
Como a reta tangente que procuramos deve ser paralela a essa reta, sua derivada (slope) no ponto de tangência também deve ser .
Como a reta tangente que procuramos deve ser paralela a essa reta, sua derivada (slope) no ponto de tangência também deve ser
Passo 3
Explicar e aplicar a diferenciação implícita para obter a derivada
da curva.
Quando temos uma equação envolvendo e
, podemos diferenciar ambos os lados em relação a
; ao derivar expressões que dependem de
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
.
Derivando a curva em relação a
:
a derivada do lado esquerdo é (por regra da cadeia) e a do lado direito é
. Assim,
Quando temos uma equação envolvendo
Derivando a curva
a derivada do lado esquerdo é
Isolando
:
Essa fórmula nos dá o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto
da curva, em função de
.
Passo 4
Encontrar o(s) ponto(s) onde a derivada vale
.
Igualamos a expressão de ao declive desejado:
Igualamos a expressão de
Resolver essa equação: multiplicando ambos os lados por
(assumindo
, que é consistente pois caso
a derivada seria indefinida),
Logo
Portanto a ordenada do(s) ponto(s) de tangência que interessam é
.
Passo 5
Encontrar a abscissa
correspondente, substituindo
na equação da curva.
A curva é . Substituindo
:
A curva é
Calculando o lado esquerdo:
Então
Dividindo por
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 6
Construir a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação.
A fórmula ponto-inclinação é
A fórmula ponto-inclinação é
onde
é o ponto de tangência e
é o declive. Aqui
e
. Substituindo,
Podemos simplificar essa expressão (realizar as operações) para obter a forma mais usual da reta. (A seguir apresentarei a equação já simplificada na seção de resposta.)