Questão 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de (y+1)^{2}=3(x+1) e paralela à reta 2 y+x=4.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • Foi dada a curva (y+1)^{2}=3(x+1).
  • Foi dada a reta \,2y+x=4.
  • O que precisamos determinar: a equação da reta tangente ao gráfico da curva que seja paralela à reta dada.
Informações úteis retiradas do enunciado:
  • A curva é (y+1)^{2}=3(x+1).
  • A reta de referência é \,2y+x=4.
  • “Paralela” significa que a reta tangente deve ter o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) da reta de referência.

Passo 2

Encontrar o coeficiente angular (declive) da reta de referência \,2y+x=4.
Para isso isolamos y:
2y = -x+4
y = -\tfrac{1}{2}x + 2.
Logo o coeficiente angular (inclinação) da reta dada é \displaystyle m=-\tfrac{1}{2}.
Como a reta tangente que procuramos deve ser paralela a essa reta, sua derivada (slope) no ponto de tangência também deve ser \displaystyle -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Explicar e aplicar a diferenciação implícita para obter a derivada y' da curva.
Quando temos uma equação envolvendo x e y, podemos diferenciar ambos os lados em relação a x; ao derivar expressões que dependem de y usamos a regra da cadeia: a derivada de y em relação a x é y'.
Derivando a curva (y+1)^{2}=3(x+1) em relação a x:
a derivada do lado esquerdo é \displaystyle 2(y+1)\cdot y' (por regra da cadeia) e a do lado direito é \displaystyle 3. Assim,
2(y+1)\,y' = 3.
Isolando y':
y' = \frac{3}{2(y+1)}.
Essa fórmula nos dá o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto (x,y) da curva, em função de y.

Passo 4

Encontrar o(s) ponto(s) onde a derivada vale \displaystyle -\tfrac{1}{2}.
Igualamos a expressão de y' ao declive desejado:
\frac{3}{2(y+1)} = -\tfrac{1}{2}.
Resolver essa equação: multiplicando ambos os lados por 2(y+1) (assumindo y\neq -1, que é consistente pois caso y=-1 a derivada seria indefinida),
3 = - (y+1).
Logo
y+1 = -3
y = -4.
Portanto a ordenada do(s) ponto(s) de tangência que interessam é \displaystyle y=-4.

Passo 5

Encontrar a abscissa x correspondente, substituindo y=-4 na equação da curva.
A curva é (y+1)^{2}=3(x+1). Substituindo y=-4:
(-4+1)^{2} = 3(x+1).
Calculando o lado esquerdo:
(-3)^{2} = 9.
Então
9 = 3(x+1).
Dividindo por 3:
x+1 = 3
x = 2.
Portanto o ponto de tangência é (2,-4).

Passo 6

Construir a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação.
A fórmula ponto-inclinação é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é o declive. Aqui (x_{0},y_{0})=(2,-4) e m=-\tfrac{1}{2}. Substituindo,
y - (-4) = -\tfrac{1}{2}\,(x - 2).
Podemos simplificar essa expressão (realizar as operações) para obter a forma mais usual da reta. (A seguir apresentarei a equação já simplificada na seção de resposta.)

Resposta

y=-\tfrac{1}{2}x-3

Exercícios relacionados