Questão 2: Dada f(x)=\frac{\sqrt{4 x^{2}+1}}{2-x}, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Caso não existam, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2-x}, se existirem.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\dfrac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2-x}.
  • O numerador \sqrt{4x^{2}+1} está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador 2-x anula-se em x=2, portanto x=2 não pertence ao domínio.
    A partir disso precisamos:
  • Verificar se em x=2 a função tende a \pm\infty (para decidir assíntota vertical).
  • Calcular \lim_{x\to+\infty} f(x) e \lim_{x\to-\infty} f(x) (para decidir assíntotas horizontais).

Passo 2

Definições e estratégia (curta aula prática):
  • Assíntota vertical: um valor x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) é +\infty ou -\infty. Em prova: verificar comportamento do numerador e do denominador ao se aproximar de a.
  • Assíntota horizontal: um valor y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty} f(x)=L. Em funções racionais envolvendo raízes quadráticas, costuma-se dividir numerador e denominador pela maior potência de x ou usar fatoração da raiz e tratar o valor absoluto |x|.
    Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Analisando a possível assíntota vertical em x=2. Primeiro note que o numerador tende a um valor finito quando x\to2:
\lim_{x\to 2}\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{4\cdot 2^{2}+1}=\sqrt{17},
que é finito e positivo. O denominador 2-x tende a 0 quando x\to2. Então é natural que a função tenda a infinito com sinal dependendo do lado de aproximação. Vamos calcular os limites laterais.

Passo 4

Cálculo dos limites laterais em x=2.
  • Para x\to 2^{-} temos 2-x>0 (denominador positivo e pequeno) e numerador aproximando \sqrt{17}>0. Assim
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2-x}=+\infty.
  • Para x\to 2^{+} temos 2-x<0 (denominador negativo e pequeno) e numerador positivo aproximando \sqrt{17}. Assim
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2-x}=-\infty.
Como pelo menos uma das consequências é divergente para infinito (na verdade ambos divergem, com sinais opostos), concluímos que x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os limites em \pm\infty. Técnica importante: escrever a raiz em função de |x|. Observe a identidade útil:
\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{4x^{2}\left(1+\frac{1}{4x^{2}}\right)}=2|x|\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}.
Explico: \sqrt{4x^{2}}=2|x| porque a raiz quadrada de x^{2} é |x|. Esse passo é crucial porque o comportamento muda conforme x é positivo ou negativo. Depois usaremos isso em cada limite.

Passo 6

Limite quando x\to +\infty. Para x>0 temos |x|=x, então
f(x)=\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2-x}=\frac{2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}}{2-x}.
Dividimos numerador e denominador por x para simplificar (estratégia padrão para limites no infinito):
f(x)=\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}}{\frac{2}{x}-1}.
Agora tomamos o limite x\to+\infty. Note que \frac{1}{x}\to 0 e \frac{1}{4x^{2}}\to 0, então \sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}\to 1 e \frac{2}{x}\to 0. Portanto
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{2\cdot 1}{0-1}=-2.
Logo há uma assíntota horizontal à direita: y=-2.

Passo 7

Limite quando x\to -\infty. Para x<0 temos |x|=-x, portanto
\sqrt{4x^{2}+1}=2(-x)\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}.
Então
f(x)=\frac{-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}}{2-x}.
Nesta expressão, para facilitar a passagem ao limite, dividimos numerador e denominador por -x (que é positivo quando x\to -\infty):
f(x)=\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}}{1-\frac{2}{x}}.
Ao tomar x\to -\infty temos \frac{1}{x}\to 0 e \sqrt{1+\frac{1}{4x^{2}}}\to 1. Logo
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{2\cdot 1}{1-0}=2.
Portanto há uma assíntota horizontal à esquerda: y=2.

Passo 8

Resumo das conclusões (já com a intuição pedagógica):
  • Em x=2 o denominador zera enquanto o numerador tende a \sqrt{17}\neq 0, por isso a função diverge com sinais opostos nos lados esquerdo e direito — assíntota vertical x=2.
  • Para x\to+\infty a função tende a -2, e para x\to-\infty tende a 2. Isso aparece porque a raiz cresce como 2|x| para grandes |x| e o sinal de |x| muda conforme o sinal de x, gerando duas assíntotas horizontais distintas: y=-2 à direita e y=2 à esquerda.

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntotas horizontais: y=2 (para \,x\to -\infty,) e y=-2 (para \,x\to +\infty,)

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