Questão 2: Dada
, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Caso não existam, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas verticais e horizontais da função
, se existirem.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - O numerador
está definido para todo . - O denominador
anula-se em , portanto não pertence ao domínio.
A partir disso precisamos: - Verificar se em
a função tende a (para decidir assíntota vertical). - Calcular
e (para decidir assíntotas horizontais).
Passo 2
Definições e estratégia (curta aula prática):
- Assíntota vertical: um valor
é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais ou é ou . Em prova: verificar comportamento do numerador e do denominador ao se aproximar de . - Assíntota horizontal: um valor
é assíntota horizontal se ou . Em funções racionais envolvendo raízes quadráticas, costuma-se dividir numerador e denominador pela maior potência de ou usar fatoração da raiz e tratar o valor absoluto .
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Analisando a possível assíntota vertical em
. Primeiro note que o numerador tende a um valor finito quando
:
que é finito e positivo. O denominador
tende a
quando
. Então é natural que a função tenda a infinito com sinal dependendo do lado de aproximação. Vamos calcular os limites laterais.
Passo 4
Cálculo dos limites laterais em
.
- Para
temos (denominador positivo e pequeno) e numerador aproximando . Assim
- Para
temos (denominador negativo e pequeno) e numerador positivo aproximando . Assim
Como pelo menos uma das consequências é divergente para infinito (na verdade ambos divergem, com sinais opostos), concluímos que
é uma assíntota vertical.
Passo 5
Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os limites em
. Técnica importante: escrever a raiz em função de
. Observe a identidade útil:
Explico:
porque a raiz quadrada de
é
. Esse passo é crucial porque o comportamento muda conforme
é positivo ou negativo. Depois usaremos isso em cada limite.
Passo 6
Limite quando
. Para
temos
, então
Dividimos numerador e denominador por
para simplificar (estratégia padrão para limites no infinito):
Agora tomamos o limite
. Note que
e
, então
e
. Portanto
Logo há uma assíntota horizontal à direita:
.
Passo 7
Limite quando
. Para
temos
, portanto
Então
Nesta expressão, para facilitar a passagem ao limite, dividimos numerador e denominador por
(que é positivo quando
):
Ao tomar
temos
e
. Logo
Portanto há uma assíntota horizontal à esquerda:
.
Passo 8
Resumo das conclusões (já com a intuição pedagógica):
- Em
o denominador zera enquanto o numerador tende a , por isso a função diverge com sinais opostos nos lados esquerdo e direito — assíntota vertical . - Para
a função tende a , e para tende a . Isso aparece porque a raiz cresce como para grandes e o sinal de muda conforme o sinal de , gerando duas assíntotas horizontais distintas: à direita e à esquerda.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: (para
,) e
(para
,)
Assíntotas horizontais: