Questão 3: Seja
a) Determine um valor de
seja contínua.
b) Para o valor de
encontrado em (a), existe
?
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto de abscissa
.
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede três coisas:
- (a) Determinar um valor de
tal que seja contínua (em todo lugar, em particular em ). - (b) Para esse
, verificar se existe (ou seja, se a derivada em existe). - (c) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa .
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a expressão de
para
(polinômio com parâmetro
) e para
(função exponencial
), e que o ponto crítico a examinar é
. Não vamos resolver ainda, só identificamos o que é pedido e os dados.]
Passo 2
Condição de continuidade em
. Vou te explicar a ideia: uma função é contínua em
se o limite quando
da função existe e é igual ao valor da função em
. Para funções por partes é suficiente igualar os limites laterais em
e garantir que isso coincida com
.
- Limite pela esquerda (pegar o ramo
): como a parte esquerda é um polinômio, o limite ao aproximar é simplesmente o valor substituindo :
- Limite pela direita (ramo
): a parte direita é , então
Para o limite total em
existir, os limites laterais devem ser iguais. Logo devemos ter
Também vamos checar o valor da função em
: pela definição
é dado pelo ramo
, então
Com
temos
, que coincide com os limites laterais. Portanto a função é contínua em
exatamente quando
Passo 3
Agora vamos ver se, para
, a derivada
existe. Primeiro explico o conceito usado: a derivada em
existe se e somente se as derivadas laterais (os limites do quociente de diferenças vindo da esquerda e da direita) existirem e forem iguais. Ou seja, definimos as derivadas laterais por
Se
, então
existe e vale esse valor.
Vamos calcular cada um:
- Derivada pela esquerda (
). Para pequeno temos , então usamos o ramo . Com já encontrado, temos para . Então
Agora tomamos o limite quando
:
Explicação: fiz divisão algébrica simples para simplificar o quociente; o termo
some na divisão e sobra
, que tende a
.
- Derivada pela direita (
). Para pequeno usamos . Então
Aqui precisamos do limite clássico
Breve justificativa desse limite: a série de Taylor de
ao redor de
é
. Subtraindo 1 e dividindo por
obtemos
, que tende a
quando
. Portanto
Conclusão: como
e
, as derivadas laterais coincidem e, portanto, a derivada
existe e vale
Passo 4
Equação da reta tangente em
. Fórmula que usamos: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
é
Aqui
, já calculamos
(com
) e
. Substituindo,
Portanto a equação da reta tangente é
.
Resposta
Sim,