Questão 3: Seja k \in \mathbb{R}\) e considere a função \[f(x)= \begin{cases}x^{2}+x+k & , \text { se } x \leq 0 \\\ e^{x} & , \text { se } x>0\end{cases}
a) Determine um valor de k\] para o qual a função \(f seja contínua.
b) Para o valor de k encontrado em (a), existe f^{\prime}(0) ?
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto de abscissa x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+x+k & , \text{ se } x \leq 0 \\[4pt] e^{x} & , \text{ se } x>0\end{cases}
e pede três coisas:
  1. (a) Determinar um valor de k tal que f seja contínua (em todo lugar, em particular em x=0).
  2. (b) Para esse k, verificar se existe f'(0) (ou seja, se a derivada em 0 existe).
  3. (c) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x_{0}=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a expressão de f(x) para x\le 0 (polinômio com parâmetro k) e para x>0 (função exponencial e^{x}), e que o ponto crítico a examinar é x=0. Não vamos resolver ainda, só identificamos o que é pedido e os dados.]

Passo 2

Condição de continuidade em x=0. Vou te explicar a ideia: uma função é contínua em x=0 se o limite quando x\to 0 da função existe e é igual ao valor da função em 0. Para funções por partes é suficiente igualar os limites laterais em 0 e garantir que isso coincida com f(0).
  • Limite pela esquerda (pegar o ramo x\le 0): como a parte esquerda é um polinômio, o limite ao aproximar 0 é simplesmente o valor substituindo x=0:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x^{2}+x+k)=0+0+k=k.
  • Limite pela direita (ramo x>0): a parte direita é e^{x}, então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} e^{x}=e^{0}=1.
Para o limite total em 0 existir, os limites laterais devem ser iguais. Logo devemos ter
k=1.
Também vamos checar o valor da função em 0: pela definição f(0) é dado pelo ramo x\le 0, então
f(0)=0^{2}+0+k=k.
Com k=1 temos f(0)=1, que coincide com os limites laterais. Portanto a função é contínua em 0 exatamente quando
k=1.

Passo 3

Agora vamos ver se, para k=1, a derivada f'(0) existe. Primeiro explico o conceito usado: a derivada em 0 existe se e somente se as derivadas laterais (os limites do quociente de diferenças vindo da esquerda e da direita) existirem e forem iguais. Ou seja, definimos as derivadas laterais por
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}, \qquad f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Se f'_{-}(0)=f'_{+}(0), então f'(0) existe e vale esse valor.
Vamos calcular cada um:
  1. Derivada pela esquerda ( h\to 0^-). Para h<0 pequeno temos 0+h\le 0, então usamos o ramo x^{2}+x+k. Com k=1 já encontrado, temos f(x)=x^{2}+x+1 para x\le 0. Então
\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\frac{\big((h)^{2}+(h)+1\big)-1}{h} =\frac{h^{2}+h}{h} =\frac{h(h+1)}{h}=h+1.
Agora tomamos o limite quando h\to 0^-:
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^-} (h+1)=1.
Explicação: fiz divisão algébrica simples para simplificar o quociente; o termo h some na divisão e sobra h+1, que tende a 1.
  1. Derivada pela direita ( h\to 0^+). Para h>0 pequeno usamos f(x)=e^{x}. Então
\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\frac{e^{h}-1}{h}.
Aqui precisamos do limite clássico
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
Breve justificativa desse limite: a série de Taylor de e^{h} ao redor de 0 é e^{h}=1+h+\dfrac{h^{2}}{2}+\cdots. Subtraindo 1 e dividindo por h obtemos 1+\dfrac{h}{2}+\cdots, que tende a 1 quando h\to 0. Portanto
f'_{+}(0)=1.
Conclusão: como f'_{-}(0)=1 e f'_{+}(0)=1, as derivadas laterais coincidem e, portanto, a derivada f'(0) existe e vale
f'(0)=1.

Passo 4

Equação da reta tangente em x_{0}=0. Fórmula que usamos: a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x_{0} é
y=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Aqui x_{0}=0, já calculamos f(0)=1 (com k=1) e f'(0)=1. Substituindo,
y = 1 + 1\cdot (x-0)=1+x.
Portanto a equação da reta tangente é y=x+1.

Resposta

k=1
Sim, f'(0)=1
y=x+1

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