Resolva as equações a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência linear não-homogênea com condições iniciais. As informações dadas são:
com
Queremos encontrar uma expressão fechada para
para todo
.
Passo 2
Primeiro tratamos a parte homogênea associada (ou seja, igualando o lado direito a zero):
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa equação quadrática:
logo
é raiz dupla (multiplicidade 2). Quando a raiz
tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da recorrência completa. O termo não-homogêneo é
, que é um múltiplo de
. Pela regra dos coeficientes a determinar: se o termo não-homogêneo tem a forma
e
é raiz da equação característica de multiplicidade
, então devemos multiplicar a tentativa por
. Aqui
e
(raiz dupla), e
é um polinômio constante (grau 0). Logo tentamos uma solução particular da forma
onde
é constante desconhecida. (Explicação: multiplicamos por
por causa da multiplicidade 2; não precisamos de termos em
ou constantes adicionais porque o polinômio original tem grau 0.)
Passo 4
Calculamos as parcelas necessárias com a tentativa escolhida:
Substituímos na recorrência:
Fatoramos
:
Agora expandimos o parêntese passo a passo:
Somando:
Portanto o parêntese vale
, e temos
Como
, obtemos
Logo a solução particular é
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão geral:
Fazendo uma checagem rápida: para
dá
, para
dá
, compatível com as condições iniciais.