Resolva as equações a seguir:
x_{n+2}-4 x_{n+1}+4 x_{n}=2^{n+3} ; \quad x_{0}=3 ; \quad x_{1}=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência linear não-homogênea com condições iniciais. As informações dadas são:
x_{n+2}-4x_{n+1}+4x_{n}=2^{n+3},
com
x_{0}=3,\qquad x_{1}=6.
Queremos encontrar uma expressão fechada para \,x_n para todo n\ge0.

Passo 2

Primeiro tratamos a parte homogênea associada (ou seja, igualando o lado direito a zero):
x_{n+2}^{(h)}-4x_{n+1}^{(h)}+4x_{n}^{(h)}=0.
Procuramos soluções do tipo \,x_n^{(h)}=r^n. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-4r+4=0.
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2-4r+4=(r-2)^2=0,
logo r=2 é raiz dupla (multiplicidade 2). Quando a raiz r tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são 2^n e n2^n. Portanto a solução geral da homogênea é
x_n^{(h)}=(A+Bn)2^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular \,x_n^{(p)} da recorrência completa. O termo não-homogêneo é 2^{n+3}=8\cdot 2^n, que é um múltiplo de 2^n. Pela regra dos coeficientes a determinar: se o termo não-homogêneo tem a forma P(n)\alpha^n e \alpha é raiz da equação característica de multiplicidade m, então devemos multiplicar a tentativa por n^m. Aqui \alpha=2 e m=2 (raiz dupla), e P(n) é um polinômio constante (grau 0). Logo tentamos uma solução particular da forma
x_n^{(p)}=C\,n^2\,2^n,
onde C é constante desconhecida. (Explicação: multiplicamos por n^2 por causa da multiplicidade 2; não precisamos de termos em n ou constantes adicionais porque o polinômio original tem grau 0.)

Passo 4

Calculamos as parcelas necessárias com a tentativa escolhida:
x_{n+1}^{(p)}=C(n+1)^2 2^{n+1},
x_{n+2}^{(p)}=C(n+2)^2 2^{n+2}.
Substituímos na recorrência:
C(n+2)^2 2^{n+2}-4C(n+1)^2 2^{n+1}+4C n^2 2^n = 2^{n+3}.
Fatoramos C2^n:
C2^n\Big(4(n+2)^2-8(n+1)^2+4n^2\Big)=2^{n+3}.
Agora expandimos o parêntese passo a passo:
4(n+2)^2=4(n^2+4n+4)=4n^2+16n+16,
-8(n+1)^2=-8(n^2+2n+1)=-8n^2-16n-8,
4n^2=4n^2.
Somando:
4n^2+16n+16-8n^2-16n-8+4n^2=8.
Portanto o parêntese vale 8, e temos
C2^n\cdot 8 = 2^{n+3}.
Como 8\cdot 2^n = 2^{n+3}, obtemos
C\cdot 2^{n+3}=2^{n+3}\quad\Rightarrow\quad C=1.
Logo a solução particular é
x_n^{(p)}=n^2 2^n.

Passo 5

A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = (A+Bn)2^n + n^2 2^n = 2^n\big(A + B n + n^2\big).

Passo 6

Usamos as condições iniciais para determinar A e B.
Para n=0:
x_0 = 2^0\big(A + B\cdot 0 + 0^2\big)=A=3.
Para n=1:
x_1 = 2^1\big(A + B\cdot 1 + 1^2\big)=2(A+B+1)=6.
Substituindo A=3:
2(3+B+1)=6 \quad\Rightarrow\quad 3+B+1=3 \quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 7

Substituindo A=3 e B=-1 na expressão geral:
x_n = 2^n\big(3 - n + n^2\big).
Fazendo uma checagem rápida: para n=0 3, para n=1 2(3-1+1)=6, compatível com as condições iniciais.

Resposta

x_n = 2^n\big(n^2 - n + 3\big).

Exercícios relacionados