Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2raiz[3]x-raiz[3]2x-2
O conteúdo principal é o reconhecimento de que isso equivale à derivada da função f(x)=raiz[3]x em x=2 ou, alternativamente, o uso da fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Vamos usar a fatoração
a^3 - b^3 = (a - b)l(a^2 + ab + b^2r)
com a = raiz[3]x e b = raiz[3]2. Então
x - 2 = (raiz[3]x)^3 - (raiz[3]2)^3 = (raiz[3]x-raiz[3]2) l((raiz[3]x)^2 + raiz[3]x,raiz[3]2 + (raiz[3]2)^2r)
Logo,
raiz[3]x-raiz[3]2x-2 = 1(raiz[3]x)^2 + raiz[3]x,raiz[3]2 + (raiz[3]2)^2

Passo 3

Agora, ao fazermos xto2, temos raiz[3]xtoraiz[3]2. Portanto o denominador tende a
(raiz[3]2)^2 + raiz[3]2,raiz[3]2 + (raiz[3]2)^2 = 3,(raiz[3]2)^2
Dessa forma o limite fica
limxto2raiz[3]x-raiz[3]2x-2 = 13,(raiz[3]2)^2

Resposta

13,2^tfrac23

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