Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(a) (1,0 ponto) x^{\prime \prime}+3 x^{\prime}=t^{4}+2+t e^{-3 t}+\cos (3 t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x''+3x' = t^4 + 2 + t e^{-3t} + \cos(3t).
Pede-se determinar a forma geral da solução particular x_p(t) — ou seja, um palpite (ansatz) com parâmetros (constantes) que, ao serem determinados, produzem uma solução particular da EDO. As informações relevantes que temos são os quatro termos do lado direito: um polinômio t^4+2, um termo misto t e^{-3t} (polinômio vezes exponencial) e um termo trigonométrico \cos(3t).

Passo 2

Antes de escolher o ansatz, identificamos a solução homogênea associada (isso serve para detectar ressonâncias). A equação homogênea é
x''+3x'=0.
A equação característica é
r^2+3r=0 \implies r(r+3)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-3. A solução homogênea é
x_h(t)=C_1 + C_2 e^{-3t}.
Observação importante: quando o termo do lado direito contém um exponencial e^{\alpha t} ou uma constante (que corresponde a e^{0t}), e \alpha é raiz da característica, há ressonância e o ansatz deve ser multiplicado por t^s, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica.

Passo 3

Vou explicar a ideia do método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) de forma bem didática:
  • Se o termo não homogêneo é um polinômio de grau n, tentamos um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos.
  • Se for e^{\alpha t} vezes um polinômio de grau n, tentamos e^{\alpha t} vezes um polinômio de grau n.
  • Se for \cos(\beta t) ou \sin(\beta t), tentamos A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t).
  • Se houver ressonância (isto é, se \alpha ou 0 corresponder a uma raiz da característica), multiplicamos o ansatz por t^s, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente.
    Os coeficientes (constantes) do ansatz são então encontrados substituindo o ansatz na EDO e igualando coeficientes (não vamos executar essa substituição aqui, apenas montar o ansatz).

Passo 4

Trabalhando o termo polinomial t^4+2:
  • Sem ressonância, para um polinômio de grau 4 o ansatz seria
A_4 t^4 + A_3 t^3 + A_2 t^2 + A_1 t + A_0,
onde A_i são constantes a determinar.
  • Contudo, r=0 é raiz da característica (multiplicidade 1), e t^4+2 contém a constante 2 que corresponde a e^{0t}. Portanto há ressonância de ordem s=1 e devemos multiplicar o polinômio por t.
    Assim o ansatz para a parte polinomial fica
t\big(A_4 t^4 + A_3 t^3 + A_2 t^2 + A_1 t + A_0\big).
Os A_i são constantes reais a serem determinados.

Passo 5

Agora o termo t e^{-3t}:
  • É da forma (polinômio de grau 1) \times e^{-3t}. Sem ressonância, o ansatz seria
e^{-3t}\big(B_1 t + B_0\big),
com B_1,B_0 constantes.
  • Mas r=-3 é raiz da característica (multiplicidade 1), logo há ressonância com e^{-3t} e devemos multiplicar por t.
    Assim o ansatz para esse termo é
t\,e^{-3t}\big(B_1 t + B_0\big) = e^{-3t}\big(B_1 t^2 + B_0 t\big),
onde B_1,B_0 são constantes.

Passo 6

Para o termo trigonométrico \cos(3t):
  • O ansatz padrão é
C\cos(3t) + D\sin(3t),
com C,D constantes.
  • Como \pm 3i não são raízes da equação característica r(r+3)=0, não há ressonância aqui e não precisamos multiplicar por t.

Passo 7

Somando as contribuições (polinomial ressonante, exponencial ressonante e trigonométrico), a forma geral da solução particular é a soma dos três ansatz:
x_p(t) = t\big(A_4 t^4 + A_3 t^3 + A_2 t^2 + A_1 t + A_0\big) + e^{-3t}\big(B_1 t^2 + B_0 t\big) + C\cos(3t)+D\sin(3t),
onde A_4,A_3,A_2,A_1,A_0,B_1,B_0,C,D são constantes a determinar substituindo este x_p na EDO e igualando termos semelhantes. Se quiser, eu te mostro como encontrar esses coeficientes passo a passo substituindo e igualando coeficientes — dá pra fazer sem calculadora, só com cuidado.

Resposta

x_p(t) = t\big(A_4 t^4 + A_3 t^3 + A_2 t^2 + A_1 t + A_0\big) + e^{-3t}\big(B_1 t^2 + B_0 t\big) + C\cos(3t)+D\sin(3t)

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