Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(a) (1,0 ponto)
.
(a) (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Pede-se determinar a forma geral da solução particular
— ou seja, um palpite (ansatz) com parâmetros (constantes) que, ao serem determinados, produzem uma solução particular da EDO. As informações relevantes que temos são os quatro termos do lado direito: um polinômio
, um termo misto
(polinômio vezes exponencial) e um termo trigonométrico
.
Passo 2
Antes de escolher o ansatz, identificamos a solução homogênea associada (isso serve para detectar ressonâncias). A equação homogênea é
A equação característica é
portanto as raízes são
e
. A solução homogênea é
Observação importante: quando o termo do lado direito contém um exponencial
ou uma constante (que corresponde a
), e
é raiz da característica, há ressonância e o ansatz deve ser multiplicado por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica.
Passo 3
Vou explicar a ideia do método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) de forma bem didática:
- Se o termo não homogêneo é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio de grau com coeficientes desconhecidos. - Se for
vezes um polinômio de grau , tentamos vezes um polinômio de grau . - Se for
ou , tentamos . - Se houver ressonância (isto é, se
ou corresponder a uma raiz da característica), multiplicamos o ansatz por , onde é a multiplicidade da raiz correspondente.
Os coeficientes (constantes) do ansatz são então encontrados substituindo o ansatz na EDO e igualando coeficientes (não vamos executar essa substituição aqui, apenas montar o ansatz).
Passo 4
Trabalhando o termo polinomial
:
- Sem ressonância, para um polinômio de grau 4 o ansatz seria
onde
são constantes a determinar.
- Contudo,
é raiz da característica (multiplicidade ), e contém a constante que corresponde a . Portanto há ressonância de ordem e devemos multiplicar o polinômio por .
Assim o ansatz para a parte polinomial fica
Os
são constantes reais a serem determinados.
Passo 5
Agora o termo
:
- É da forma (polinômio de grau 1)
. Sem ressonância, o ansatz seria
com
constantes.
- Mas
é raiz da característica (multiplicidade ), logo há ressonância com e devemos multiplicar por .
Assim o ansatz para esse termo é
onde
são constantes.
Passo 6
Para o termo trigonométrico
:
- O ansatz padrão é
com
constantes.
- Como
não são raízes da equação característica , não há ressonância aqui e não precisamos multiplicar por .
Passo 7
Somando as contribuições (polinomial ressonante, exponencial ressonante e trigonométrico), a forma geral da solução particular é a soma dos três ansatz:
onde
são constantes a determinar substituindo este
na EDO e igualando termos semelhantes. Se quiser, eu te mostro como encontrar esses coeficientes passo a passo substituindo e igualando coeficientes — dá pra fazer sem calculadora, só com cuidado.