Questão 2 ( 2,5 pontos) Considere as curvas \alpha(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t) e \beta(t)=\left(0, t, t^{2}\right), t \geq 0.
(a) (0,4 pontos) Calcule os pontos de interseção entre as duas curvas.
(b) (0,7 pontos ) Calcule a derivada das duas curvas nos pontos de interseção.
(c) (0,7 pontos ) Calcule a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes no ponto de interseção entre as das curvas.
(d) ( 0,5 pontos) Calcule o ângulo entre os vetores tangentes as curvas no ponto de interseção.

Passo 1

Dados fornecidos:
\alpha(t)=\bigl(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
\beta(t)=\bigl(0,\;t,\;t^{2}\bigr),\quad t\ge 0.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular os pontos de interseção entre \alpha e \beta.
(b) Calcular as derivadas (vetores tangentes) das duas curvas nos pontos de interseção.
(c) Calcular a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes no ponto de interseção entre as curvas.
(d) Calcular o ângulo entre os vetores tangentes das curvas no ponto de interseção.

Passo 2

Vamos traduzir a condição de interseção em equações: existe t\in\mathbb{R} e s\ge 0 tais que
\alpha(t)=\beta(s).
Igualando coordenadas componente a componente obtemos o sistema
\cos(t)=0,
\operatorname{sen}(t)=s,
t=s^{2}.
Explico: para dois pontos \alpha(t) e \beta(s) serem iguais, cada coordenada deve coincidir; por isso escrevemos as três igualdades acima.

Passo 3

Resolvendo o sistema: da primeira equação \cos(t)=0 segue que
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo em \operatorname{sen}(t)=s, como \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)=(-1)^{k}, obtemos
s = (-1)^{k}.
Mas a definição de \beta exige s\ge 0, então somente s=1 é admissível, o que corresponde a k par e aos valores
t=\frac{\pi}{2}+2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
Por outro lado, da terceira equação temos t=s^{2}. Se s=1 então t=1. Para haver interseção deveríamos ter simultaneamente
t=1\quad\text{e}\quad t=\frac{\pi}{2}+2m\pi
para algum m\in\mathbb{Z}. Mas \frac{\pi}{2}+2m\pi nunca é igual a 1 para inteiro m (pois \tfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5708 e somar múltiplos inteiros de 2\pi só afasta mais do valor 1). Logo não existe solução do sistema.
Conclusão: não existem parâmetros t,s que tornem \alpha(t)=\beta(s). Portanto as curvas não se intersectam.

Passo 4

Como não existem pontos de interseção, as perguntas (b), (c) e (d), que pedem quantidades avaliadas “nos pontos de interseção”, não têm valores numéricos para devolver. Mesmo assim, para você aprender como resolver essas partes caso houvesse interseção, eu mostro agora o procedimento geral passo a passo (aulas rápidas e práticas):
  1. Derivada (vetor tangente) de uma curva paramétrica: se \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr),
isto é, derivamos componente a componente. A derivada dá o vetor tangente e indica a direção do movimento sobre a curva.
Aplicando ao nosso caso:
\alpha'(t)=\bigl(-\operatorname{sen}(t),\;\cos(t),\;1\bigr),
pois \dfrac{d}{dt}\cos t=-\operatorname{sen} t, \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t e \dfrac{d}{dt}t=1.
\beta'(s)=\bigl(0,\;1,\;2s\bigr),
pois \dfrac{d}{ds}0=0, \dfrac{d}{ds}s=1 e \dfrac{d}{ds}s^{2}=2s.
  1. Área do paralelogramo gerado por dois vetores u e v: é o módulo do produto vetorial,
\text{Área}=\|u\times v\|.Á
O produto vetorial em \mathbb{R}^{3} dá um vetor perpendicular aos dois e o módulo desse vetor é a área do paralelogramo.
No nosso caso, para parâmetros genéricos t e s (não necessariamente de interseção), o produto vetorial é
\alpha'(t)\times\beta'(s)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -\operatorname{sen} t & \cos t & 1 \\\\ 0 & 1 & 2s \end{vmatrix}.
Calculando:
\alpha'(t)\times\beta'(s)=\bigl(2s\cos t-1,\;2s\operatorname{sen} t,\;-\operatorname{sen} t\bigr).
Portanto a área do paralelogramo (em termos de t,s) seria
\text{Área}(t,s)=\bigl\|\alpha'(t)\times\beta'(s)\bigr\| =\sqrt{(2s\cos t-1)^{2}+(2s\operatorname{sen} t)^{2}+(-\operatorname{sen} t)^{2}}.Á
Se existisse um ponto de interseção com parâmetros t_{0},s_{0}, bastaria substituir t=t_{0}, s=s_{0} e avaliar a raiz para obter a área numérica.
  1. Ângulo entre vetores tangentes u e v: usa-se o produto escalar:
u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}\right).
No caso geral:
\alpha'(t)\cdot\beta'(s)=(-\operatorname{sen} t)\cdot 0 + (\cos t)\cdot 1 + 1\cdot (2s)=\cos t + 2s.
E os módulos são
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},
pois \operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t=1, e
\|\beta'(s)\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+(2s)^{2}}=\sqrt{1+4s^{2}}.
Assim o ângulo (em termos de t,s) seria
\theta(t,s)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\cos t + 2s}{\sqrt{2}\,\sqrt{1+4s^{2}}}\right).
Novamente, para um ponto de interseção substituímos t=t_{0}, s=s_{0}.

Passo 5

Resumo interpretativo e encorajamento: concluímos rigorosamente que não há nenhum par (t,s) que faça \alpha(t)=\beta(s); por isso as quantidades pedidas em (b), (c) e (d) “nos pontos de interseção” não podem ser avaliadas numericamente — não há tais pontos. Porém agora você tem a técnica completa (como obter \alpha',\beta', produto vetorial para área e produto escalar para ângulo) para aplicar imediatamente se aparecer um exercício com interseção.

Resposta

(a) Não existem pontos de interseção entre \alpha e \beta.
(b) Não aplicável — não há pontos de interseção. (Derivadas gerais: \alpha'(t)=\bigl(-\operatorname{sen} t,\cos t,1\bigr), \beta'(s)=\bigl(0,1,2s\bigr).)
(c) Não aplicável — não há pontos de interseção. (Área geral: \bigl\|\alpha'(t)\times\beta'(s)\bigr\|=\sqrt{(2s\cos t-1)^{2}+(2s\operatorname{sen} t)^{2}+(\!-\operatorname{sen} t\!)^{2}}.)
(d) Não aplicável — não há pontos de interseção. (Ângulo geral: \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\dfrac{\cos t+2s}{\sqrt{2}\sqrt{1+4s^{2}}}\bigr).)

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