Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(b) (1,0 ponto) y^{\prime \prime}=\left(t^{3}+t^{2}-t+3\right)(1+\cos (5 t)).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''=\big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\big(1+\cos(5t)\big)
e pede: determinar a forma geral da solução particular.
Informações relevantes que temos:
  • O lado direito é o produto de um polinômio de grau 3 por (1+\cos(5t)).
  • Podemos escrever explicitamente o lado direito como a soma de duas partes:
t^{3}+t^{2}-t+3 \quad\text{e}\quad \big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\cos(5t).
A tarefa é encontrar uma expressão para uma solução particular y_p(t) que, quando derivada duas vezes, produz esse lado direito.

Passo 2

Uma boa propriedade a usar é a linearidade do operador segunda derivada: se y_{p1} é particular para a primeira parte e y_{p2} é particular para a segunda parte, então
y_p = y_{p1}+y_{p2}
é particular para a soma. Portanto vamos tratar separadamente:
  1. y''=t^{3}+t^{2}-t+3 (parte polinomial);
  2. y''=\big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\cos(5t) (parte polinomial vezes \cos(5t)).

Passo 3

Resolver a parte polinomial por dupla integração (escolhemos uma primitiva sem constantes para não misturar com solução homogênea):
Primeira integral:
\int \big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\,dt = \frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}+3t + C_1.
Segunda integral:
\int\left(\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}+3t + C_1\right)dt = \frac{t^{5}}{20}+\frac{t^{4}}{12}-\frac{t^{3}}{6}+\frac{3t^{2}}{2}+C_1 t + C_2.
Como C_1 t + C_2 pertence à solução geral da equação homogênea associada ( y''=0 tem solução C_2 + C_1 t), podemos escolher C_1=C_2=0 para obter uma particular conveniente. Assim uma escolha natural é
y_{p1}(t)=\frac{t^{5}}{20}+\frac{t^{4}}{12}-\frac{t^{3}}{6}+\frac{3t^{2}}{2}.
Pequeno comentário didático: integrar duas vezes um polinômio de grau n dá um polinômio de grau n+2; aqui n=3 leva a grau 5.

Passo 4

Agora a parte \big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\cos(5t). Usamos o método dos coeficientes indeterminados com a forma apropriada:
  • Para um termo da forma (polinômio de grau m) \times \cos(\omega t), o palpite padrão é assumir uma solução particular da forma
(\text{polinômio de grau }m)\cos(\omega t)+(\text{polinômio de grau }m)\sin(\omega t),ôô
porque derivando produtos polinômio·trigonométrico gera novamente combinações polinômio·cos e polinômio·sin do mesmo grau (a derivada não reduz o grau do polinômio quando aparece multiplicando seno/cosseno). Aqui m=3 e \omega=5.
  • Verificamos se há ressonância com a solução homogênea: a homogênea de y''=0 é C_1+C_2 t, não contém \cos(5t) nem \sin(5t), então não precisamos multiplicar por potências de t. Portanto o palpite padrão é válido sem ajustes.
Assim assumimos
y_{p2}(t)=\big(a_3 t^3+a_2 t^2+a_1 t+a_0\big)\cos(5t) +\big(b_3 t^3+b_2 t^2+b_1 t+b_0\big)\sin(5t),
onde a_i,b_i são constantes a determinar. Explicação prática: ao substituir y_{p2} em y''=\cdots e usar as fórmulas de derivada (produto e derivada de seno/cosseno), o segundo membro resultante será uma combinação de termos (\text{polinômio de grau}\le3)\cos(5t)ô e (\text{polinômio de grau}\le3)\sin(5t)ô. Igualando aos termos correspondentes de \big(t^{3}+t^{2}-t+3\big)\cos(5t) obtém-se um sistema linear para os a_i,b_i. Resolver esse sistema dá os coeficientes; é um cálculo mecânico e um pouco extenso, por isso pedimos aqui apenas a forma geral do palpite (que é o que a questão solicita).

Passo 5

Pelo princípio da superposição, a forma geral da solução particular é a soma das duas partes construídas:
  • a parte polinomial explícita y_{p1} obtida por dupla integração;
  • a parte trigonométrica y_{p2} com polinômios de grau 3 multiplicando \cos(5t) e \sin(5t), cujos coeficientes são obtidos por substituir na equação e igualar termos.
Portanto escrevemos a forma geral de y_p(t) juntando as duas contribuições.

Resposta

y_p(t)=\frac{t^{5}}{20}+\frac{t^{4}}{12}-\frac{t^{3}}{6}+\frac{3t^{2}}{2} +\big(a_3 t^3+a_2 t^2+a_1 t+a_0\big)\cos(5t) +\big(b_3 t^3+b_2 t^2+b_1 t+b_0\big)\sin(5t),
onde a_0,a_1,a_2,a_3,b_0,b_1,b_2,b_3 são constantes que podem ser determinadas ao substituir y_p na equação e igualar coeficientes.

Exercícios relacionados