Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(b) (1,0 ponto)
.
(b) (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a forma geral da solução particular.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O lado direito é o produto de um polinômio de grau 3 por
. - Podemos escrever explicitamente o lado direito como a soma de duas partes:
A tarefa é encontrar uma expressão para uma solução particular
que, quando derivada duas vezes, produz esse lado direito.
Passo 2
Uma boa propriedade a usar é a linearidade do operador segunda derivada: se
é particular para a primeira parte e
é particular para a segunda parte, então
é particular para a soma. Portanto vamos tratar separadamente:
-
(parte polinomial); -
(parte polinomial vezes ).
Passo 3
Resolver a parte polinomial por dupla integração (escolhemos uma primitiva sem constantes para não misturar com solução homogênea):
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Como
pertence à solução geral da equação homogênea associada (
tem solução
), podemos escolher
para obter uma particular conveniente. Assim uma escolha natural é
Pequeno comentário didático: integrar duas vezes um polinômio de grau
dá um polinômio de grau
; aqui
leva a grau
.
Passo 4
Agora a parte
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados com a forma apropriada:
- Para um termo da forma (polinômio de grau
) , o palpite padrão é assumir uma solução particular da forma
porque derivando produtos polinômio·trigonométrico gera novamente combinações polinômio·cos e polinômio·sin do mesmo grau (a derivada não reduz o grau do polinômio quando aparece multiplicando seno/cosseno). Aqui
e
.
- Verificamos se há ressonância com a solução homogênea: a homogênea de
é , não contém nem , então não precisamos multiplicar por potências de . Portanto o palpite padrão é válido sem ajustes.
Assim assumimos
onde
são constantes a determinar. Explicação prática: ao substituir
em
e usar as fórmulas de derivada (produto e derivada de seno/cosseno), o segundo membro resultante será uma combinação de termos
e
. Igualando aos termos correspondentes de
obtém-se um sistema linear para os
. Resolver esse sistema dá os coeficientes; é um cálculo mecânico e um pouco extenso, por isso pedimos aqui apenas a forma geral do palpite (que é o que a questão solicita).
Passo 5
Pelo princípio da superposição, a forma geral da solução particular é a soma das duas partes construídas:
- a parte polinomial explícita
obtida por dupla integração; - a parte trigonométrica
com polinômios de grau 3 multiplicando e , cujos coeficientes são obtidos por substituir na equação e igualar termos.
Portanto escrevemos a forma geral de
juntando as duas contribuições.
Resposta
onde
são constantes que podem ser determinadas ao substituir
na equação e igualar coeficientes.