Questão 4. (1.0 pt) Determine
derivando implicitamente a equação
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
(a derivada parcial de
em relação a
), assumindo que
depende implicitamente de
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A equação relaciona
, e . - A incógnita desejada é
. - Ao diferenciar parcialmente em relação a
, é tratado como constante. - Sempre que aparecer
dentro de uma expressão e diferenciarmos em relação a , devemos lembrar que e usar (vou abreviar como ).
Passo 2
Vou diferenciar ambos os lados da equação com respeito a
. Antes, relembrando duas regras essenciais que usaremos:
- Regra da cadeia para
: se , então . - Regra do produto:
.
Também lembraremos da regra da potência:.
Aqui
é constante na diferenciação parcial;
depende de
, então
aparecerá quando diferenciarmos termos que contenham
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
em relação a
:
- Tome
. Então . - Agora
. - Aplicando a regra do produto em
: .
Portanto o lado esquerdo deriva para
Passo 4
Derivando o lado direito
em relação a
:
- A derivada de
é . - Em
, é constante. Temos que derivar . - Use a regra do produto em
: - Para
, aplique a regra da potência com cadeia: .
Logo
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
O objetivo é isolar
. Primeiro multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Expando o lado direito, separando os termos que contêm
:
Agora trago todos os termos com
para o lado esquerdo e os demais para o direito:
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Passo 7
Fatoro
quando conveniente para simplificar a forma final. No coeficiente de
:
No numerador posso também fatorar
, se quiser:
Assim, isolando
:
Passo 8
Para escrever de forma compacta e clara, posso reorganizar os fatores; uma forma conveniente é:
Essa expressão é equivalente à obtida no passo anterior (apenas reescrevendo os produtos).