Questão 4. (1.0 pt) Determine \frac{\partial z}{\partial y} derivando implicitamente a equação
\ln (x+y z)=1+x y^{2} z^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\ln(x+y z)=1+x y^{2} z^{3}
e pede para determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} (a derivada parcial de z em relação a y), assumindo que z depende implicitamente de x e y.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x, y e z.
  • A incógnita desejada é \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
  • Ao diferenciar parcialmente em relação a y, x é tratado como constante.
  • Sempre que aparecer z dentro de uma expressão e diferenciarmos em relação a y, devemos lembrar que z=z(x,y) e usar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} (vou abreviar como z_y).

Passo 2

Vou diferenciar ambos os lados da equação com respeito a y. Antes, relembrando duas regras essenciais que usaremos:
  • Regra da cadeia para \ln(u): se u=y\mapsto u(y), então \dfrac{d}{dy}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dy}[a(y)\,b(y)]=a'(y)b(y)+a(y)b'(y).
    Também lembraremos da regra da potência: \dfrac{d}{dy}[u(y)^n]=n\,u(y)^{n-1}u'(y).
Aqui x é constante na diferenciação parcial; z depende de y, então z_y aparecerá quando diferenciarmos termos que contenham z.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo \ln(x+y z) em relação a y:
  • Tome u(x,y)=x+y z. Então \dfrac{\partial}{\partial y}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial y}.
  • Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y z)=0 + \dfrac{\partial}{\partial y}(y z).
  • Aplicando a regra do produto em y z: \dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=1\cdot z + y\cdot z_y = z + y z_y.
Portanto o lado esquerdo deriva para
\frac{z + y z_y}{x + y z}.

Passo 4

Derivando o lado direito 1 + x y^{2} z^{3} em relação a y:
  • A derivada de 1 é 0.
  • Em x y^{2} z^{3}, x é constante. Temos que derivar y^{2} z^{3}.
  • Use a regra do produto em y^{2}\cdot z^{3}: \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2} z^{3}) = 2y\cdot z^{3} + y^{2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{3}).
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{3}), aplique a regra da potência com cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{3})=3 z^{2}\,z_y.
Logo
\dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2} z^{3}) = x\big(2y z^{3} + 3 y^{2} z^{2} z_y\big).

Passo 5

Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
\frac{z + y z_y}{x + y z} = x\big(2y z^{3} + 3 y^{2} z^{2} z_y\big).
O objetivo é isolar z_y. Primeiro multiplico ambos os lados por x+y z para eliminar o denominador:
z + y z_y = (x+y z)\,x\big(2y z^{3} + 3 y^{2} z^{2} z_y\big).

Passo 6

Expando o lado direito, separando os termos que contêm z_y:
z + y z_y = x(x+y z)\,2y z^{3} + x(x+y z)\,3 y^{2} z^{2} z_y.
Agora trago todos os termos com z_y para o lado esquerdo e os demais para o direito:
y z_y - 3x(x+y z) y^{2} z^{2} z_y = 2x(x+y z) y z^{3} - z.
Coloco z_y em evidência no lado esquerdo:
z_y\big(y - 3x(x+y z) y^{2} z^{2}\big) = 2x(x+y z) y z^{3} - z.

Passo 7

Fatoro y quando conveniente para simplificar a forma final. No coeficiente de z_y:
y - 3x(x+y z) y^{2} z^{2} = y\big(1 - 3x(x+y z) y z^{2}\big).
No numerador posso também fatorar z, se quiser:
2x(x+y z) y z^{3} - z = z\big(2x(x+y z) y z^{2} - 1\big).
Assim, isolando z_y:
z_y = \frac{2x(x+y z) y z^{3} - z}{y\big(1 - 3x(x+y z) y z^{2}\big)}.

Passo 8

Para escrever de forma compacta e clara, posso reorganizar os fatores; uma forma conveniente é:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{z\big(2x y z^{2}(x+y z)-1\big)}{y\big(1-3x y z^{2}(x+y z)\big)}.}
Essa expressão é equivalente à obtida no passo anterior (apenas reescrevendo os produtos).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{2x(x+y z) y z^{3} - z}{y\big(1 - 3x(x+y z) y z^{2}\big)}

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