Questão 1. Nos itens a seguir, verifique que \operatorname{det}(k A)=k^{n} \operatorname{det}(A), sendo n a ordem da matriz dada:
A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] \quad k=2

Passo 1

O enunciado dá a matriz de ordem n=2\r
A = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\r
e o escalar k=2. Queremos verificar a propriedade\r
\det(kA) = k^n \det(A),\r
sabendo que multiplicar cada linha de A por k multiplica o determinante por k.

Passo 2

Calcular \det(A). Para matriz 2\times2, vale\r
\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.\r
Aqui,\r
\det(A) = (-1)\cdot 4 \;-\; 2\cdot 3 = -4 - 6 = -10.

Passo 3

Formar a matriz 2A e calcular seu determinante. Multiplicando cada entrada de A por 2,\r
2A = \begin{pmatrix} -2 & 4\\\\ 6 & 8 \end{pmatrix}.\r
Logo,\r
\det(2A) = (-2)\cdot 8 \;-\; 4\cdot 6 = -16 - 24 = -40.

Passo 4

Calcular k^n \det(A) e comparar com \det(2A). Como k=2 e n=2,\r
2^2 \det(A) = 4 \times (-10) = -40.\r
Observamos que isto coincide com \det(2A) = -40, confirmando a propriedade.

Resposta

\det(2A) = -40 = 2^2 \det(A).

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