Questão 4. Calcule:
\int_{0}^{2} x \sqrt{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x \sqrt{x^{2}+1}\,dx
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é x\sqrt{x^{2}+1}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=2.
  • A variável de integração é x.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método: substituição (mudança de variável).
Explicação didática: quando dentro de uma raiz ou potência temos uma função g(x) e fora dessa função aparece um fator proporcional a g'(x), a substituição u=g(x) costuma simplificar muito a integral. Aqui a parte dentro da raiz é x^{2}+1 e a derivada dessa expressão é 2x, que é proporcional a x que multiplica a raiz. Por isso a substituição u=x^{2}+1 é natural.
Regra usada (aula rápida): se fizermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx. A integral em x pode ser reescrita em u substituindo g(x) por u e dx por du/g'(x), ajustando também os limites.

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^{2}+1. Calculamos o diferencial:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora trocamos os limites de integração usando u=x^{2}+1:
  • quando x=0, u=0^{2}+1=1;
  • quando x=2, u=2^{2}+1=5.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u:
o fator x\,dx vira \tfrac{1}{2}\,du e \sqrt{x^{2}+1} vira \sqrt{u}=u^{1/2}. Assim
\int_{0}^{2} x \sqrt{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=5} u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integramos usando a regra da potência:
Regra (aula rápida): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo factor \tfrac{1}{2} que estava fora, o primitivo para a nossa integral definida é
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}u^{3/2}.

Passo 6

Avaliação nos limites u=1 até u=5:
\frac{1}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Simplificando 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, obtemos
\frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Passo 7

Verificação rápida (opcional): derivando o antiderivado F(x)=\tfrac{1}{3}(x^{2}+1)^{3/2} obtemos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(x^{2}+1)^{1/2}\cdot 2x = x\sqrt{x^{2}+1},
que é exatamente o integrando, então a antiderivada está correta e a avaliação também.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

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