Questão 4. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - A variável de integração é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método: substituição (mudança de variável).
Explicação didática: quando dentro de uma raiz ou potência temos uma função e fora dessa função aparece um fator proporcional a
, a substituição
costuma simplificar muito a integral. Aqui a parte dentro da raiz é
e a derivada dessa expressão é
, que é proporcional a
que multiplica a raiz. Por isso a substituição
é natural.
Explicação didática: quando dentro de uma raiz ou potência temos uma função
Regra usada (aula rápida): se fizermos
, então
. A integral em
pode ser reescrita em
substituindo
por
e
por
, ajustando também os limites.
Passo 3
Fazendo a substituição
. Calculamos o diferencial:
Agora trocamos os limites de integração usando
:
- quando
, ; - quando
, .
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
:
o fator vira
e
vira
. Assim
o fator
Passo 5
Integramos usando a regra da potência:
Regra (aula rápida): para ,
Regra (aula rápida): para
Aqui
, então
Multiplicando pelo factor
que estava fora, o primitivo para a nossa integral definida é
Passo 6
Avaliação nos limites
até
:
Simplificando
e
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (opcional): derivando o antiderivado
obtemos
que é exatamente o integrando, então a antiderivada está correta e a avaliação também.