Questão 5
Determine a interseção entre a reta r: 6-2 x4=2-y4 ; z=1 e o plano alfa: 8 x-3 y-z=13
a. (1,-2,3)
b. (1,-2,1)
C. (-1,-2,1)
d. A reta é paralela ao plano alfa

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma simétrica
6-2x4 ;=;2-y4, z=1
e o plano alpha
8x - 3y - z = 13
Queremos o ponto de interseção entre r e alpha. Para isso, vamos parametrizear r e depois substituir na equação do plano para achar o parâmetro.

Passo 2

Na forma simétrica da reta, igualamos
6-2x4 ;=;2-y4 = t
Daí temos
6 - 2x = 4t Longrightarrow x = 3 - 2t,
2 - y = 4t Longrightarrow y = 2 - 4t,
e já sabíamos z=1. Logo a parametrização é
(x,y,z) = l(3-2t,;2-4t,;1r)

Passo 3

Substituímos essa parametrização em
8x - 3y - z = 13
Fica
8(3 - 2t) ;-;3(2 - 4t);-;1 = 13
Desenvolvendo,
24 - 16t ;-;6 + 12t ;-;1 = 13 Longrightarrow 17 - 4t = 13 Longrightarrow t = 1

Passo 4

Com t=1, obtemos
x = 3 - 2cdot1 = 1, y = 2 - 4cdot1 = -2, z = 1
Portanto o ponto de interseção é (1,-2,1).

Resposta

(1,-2,1)

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