Verifique a alternativa verdadeira em relação a posição entre as retas r: x+12=y+12 ; Z=1 e s:cx=-2+t y=3-4 t z=2-t
a. São reversas
b. São paralelas
C. São concorrentes e interceptam em (-1,-1,1)

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço, r e s, e pede a posição relativa entre elas: se são paralelas, reversas ou concorrentes. Esse conteúdo é de geometria analítica no espaço, envolvendo formas paramétricas, vetores diretores e teste de interseção.

Passo 2

Para colocar r em forma paramétrica, definimos um parâmetro lambda tal que
lambda = x+12 = y+12,
e sabemos que z=1. Logo
x = 2lambda - 1, y = 2lambda - 1, z = 1
Um ponto de r (para lambda=0) é (-1,-1,1) e o vetor diretor de r é (2,2,0).

Passo 3

A reta s já vem em forma paramétrica com parâmetro t:
x = -2 + t, y = 3 - 4t, z = 2 - t
Um ponto de s (para t=0) é (-2,3,2) e o vetor diretor de s é (1,-4,-1).

Passo 4

Testamos paralelismo comparando vetores diretores. Os vetores (2,2,0) e (1,-4,-1) não são múltiplos escalarmente, então as retas não são paralelas.

Passo 5

Como não são paralelas, tentamos achar interseção igualando as coordenadas paramétricas:
2lambda - 1 = -2 + t, 2lambda - 1 = 3 - 4t, 1 = 2 - t
Da primeira vem
t = 2lambda + 1
Substituindo na segunda,
2lambda - 1 = 3 - 4(2lambda + 1) = 3 - 8lambda - 4 = -8lambda -1
que leva a
10lambda = 0Longrightarrow lambda = 0
Então t = 1 e a terceira equação 1 = 2 - t confirma t=1.

Passo 6

Para lambda=0 a reta r está em (-1,-1,1), e para t=1 a reta s também está em (-1,-1,1). Portanto as retas se cruzam nesse ponto.

Resposta

c. São concorrentes e interceptam em (-1,-1,1).

Exercícios relacionados