Questão 4) Sendo E e F bases. Sabendo-se:
& e1=-2 f3 & e2=f2+2 f3 & e3=2 f1
a) Escreva a matriz de mudança de base E para F e a matriz de mudança de base F para E.
b) Dado u=-1 f1-f2-5 f3, escreva u na base E .
c) Dado v=8 e1-2 e3, escreva v na base F.

Passo 1

O enunciado dá duas bases E=vec e1,vec e2,vec e3 e F=vec f1,vec f2,vec f3 relacionadas por
vec e1=-2,vec f3, vec e2=vec f2+2,vec f3, vec e3=2,vec f1
Precisamos (a) montar a matriz de mudança de base de E para F e sua inversa, (b) usar a inversa para escrever vec u na base E e (c) usar a primeira matriz para escrever vec v na base F.

Passo 2

A matriz de mudança de base de E para F, que chamamos de PEto F, tem colunas iguais às coordenadas de vec ei na base F. Como
[vec e1]F=00-2, [vec e2]F=012, [vec e3]F=200,
segue
PEto F = 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -2 & 2 & 0

Passo 3

Para obter a matriz de mudança de base de F para E, PFto E, invertemos PEto F. Calcula-se det PEto F=4 e sua adjunta, chegando a
PFto E = PEto F^-1 = 0 & 1 & -tfrac12 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 0

Passo 4

Para vec u=-1,vec f1-1,vec f2-5,vec f3, temos [vec u]F=-1-1-5. Então
[vec u]E = PFto E,[vec u]F = 0 & 1 & -tfrac12 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 0 -1-1-5 =tfrac32-1-tfrac12,
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vec u=tfrac32,vec e1-vec e2-tfrac12,vec e3

Passo 5

Para vec v=8,vec e1-2,vec e3, temos [vec v]E=80-2. Então
[vec v]F = PEto F,[vec v]E = 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -2 & 2 & 0 80-2 =-40-16,
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vec v=-4,vec f1-16,vec f3

Resposta

a)
PEto F = 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -2 & 2 & 0 , PFto E = 0 & 1 & -tfrac12 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 0
b) vec u=tfrac32,vec e1-vec e2-tfrac12,vec e3
c) vec v=-4,vec f1-16,vec f3

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