A funçāo h: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} dada por h(x)=x^{3}+2 x+1 possui uma inversa h^{-1}. Determine os valores de \left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x)) nos pontos correspondentes à x=0, x=1 e x=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função h:\mathbf{R}\to\mathbf{R} definida por h(x)=x^{3}+2x+1 e pede os valores de \left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x)) nos pontos correspondentes a x=0, x=1 e x=-1.
Informações relevantes fornecidas:
\,\, - a fórmula de h(x) é h(x)=x^{3}+2x+1.
\,\, - precisamos avaliar a derivada da inversa no ponto y=h(x) para cada um desses x.
Observação: a quantidade pedida é a derivada da função inversa avaliada em y=h(x) — ou seja, para cada x devemos encontrar \left(h^{-1}\right)^{\prime} no ponto y igual a h(x).

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) a relação que usamos aqui: quando uma função h é diferenciável e tem derivada não nula num ponto x, a derivada da inversa em y=h(x) é dada pela Regra da Inversa:
\left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x))=\frac{1}{h'(x)}.
Explicando devagar: se y=h(x) e h é invertível e diferenciável, então a inclinação da inversa no ponto y é o inverso da inclinação de h no ponto x. Aqui h'(x) é a derivada de h em x, e \left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x)) é a derivada da inversa no ponto y=h(x).

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, precisamos garantir que h tem inversa diferenciável (ou seja, é estritamente monotônica e h'(x)\neq0 para todo x). Calculemos a derivada de h:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2x+1\bigr)=3x^{2}+2.
Agora observe que 3x^{2}\ge 0 para todo x, então 3x^{2}+2\ge 2>0 para todo x\in\mathbf{R}. Logo h'(x)>0 em todo \mathbf{R}, o que implica que h é estritamente crescente e, portanto, injetora (tem inversa) e a inversa é diferenciável. Podemos usar com segurança a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa, obtemos a expressão geral que precisamos:
\left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x))=\frac{1}{h'(x)}=\frac{1}{3x^{2}+2}.
Ou seja, para qualquer x real, \left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(x)) é simplesmente \frac{1}{3x^{2}+2}. Agora é só substituir os valores de x pedidos.

Passo 5

Calculemos caso a caso, mostrando as contas passo a passo.
Para x=0:
h'(0)=3\cdot 0^{2}+2=2,
portanto
\left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(0))=\frac{1}{h'(0)}=\frac{1}{2}.
Para x=1:
h'(1)=3\cdot 1^{2}+2=3+2=5,
portanto
\left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(1))=\frac{1}{h'(1)}=\frac{1}{5}.
Para x=-1:
h'(-1)=3\cdot (-1)^{2}+2=3+2=5,
portanto
\left(h^{-1}\right)^{\prime}(h(-1))=\frac{1}{h'(-1)}=\frac{1}{5}.
(Se quiser conferir os pontos y=h(x): h(0)=1, h(1)=4 e h(-1)=-2. Assim, por exemplo, \left(h^{-1}\right)^{\prime}(1)=\tfrac{1}{2}, \left(h^{-1}\right)^{\prime}(4)=\tfrac{1}{5}, etc.)

Resposta

\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{5}
\dfrac{1}{5}

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