A funçāo
dada por
possui uma inversa
. Determine os valores de
nos pontos correspondentes à
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede os valores de
nos pontos correspondentes a
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- a fórmula de
é
.
- precisamos avaliar a derivada da inversa no ponto
para cada um desses
.
Observação: a quantidade pedida é a derivada da função inversa avaliada em — ou seja, para cada
devemos encontrar
no ponto
igual a
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação: a quantidade pedida é a derivada da função inversa avaliada em
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) a relação que usamos aqui: quando uma função
é diferenciável e tem derivada não nula num ponto
, a derivada da inversa em
é dada pela Regra da Inversa:
Explicando devagar: se
e
é invertível e diferenciável, então a inclinação da inversa no ponto
é o inverso da inclinação de
no ponto
. Aqui
é a derivada de
em
, e
é a derivada da inversa no ponto
.
Passo 3
Antes de aplicar a fórmula, precisamos garantir que
tem inversa diferenciável (ou seja, é estritamente monotônica e
para todo
). Calculemos a derivada de
:
Agora observe que
para todo
, então
para todo
. Logo
em todo
, o que implica que
é estritamente crescente e, portanto, injetora (tem inversa) e a inversa é diferenciável. Podemos usar com segurança a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Aplicando a fórmula da inversa, obtemos a expressão geral que precisamos:
Ou seja, para qualquer
real,
é simplesmente
. Agora é só substituir os valores de
pedidos.
Passo 5
Calculemos caso a caso, mostrando as contas passo a passo.
Para
:
portanto
Para
:
portanto
Para
:
portanto
(Se quiser conferir os pontos
:
,
e
. Assim, por exemplo,
,
, etc.)