Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrr1 & 3 & 1 2 & 1 & 1 -2 & 2 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 1 & 3 & 1 2 & 1 & 1 -2 & 2 & -1
é invertível e, em caso afirmativo, achar A^-1.
Conteúdo: determinante para testar invertibilidade e método de Gauss– Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Calculemos
det(A) =1cdotdet1&12&-1 -3cdotdet2&1-2&-1 +1cdotdet2&1-2&2
Temos
det1&12&-1 =1cdot(-1)-1cdot2=-3,
det2&1-2&-1 =2cdot(-1)-1cdot(-2)=0,
det2&1-2&2 =2cdot2-1cdot(-2)=6
Logo
det(A)=-3-3cdot0+6=3neq0,
ou seja, A é invertível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada l[Amid Ir] e começamos a eliminação:
[ccc|ccc 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0[3pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0[3pt] -2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ]
1. R2 R2-2R1 e R3 R3+2R1
[ccc|ccc 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0[3pt] 0 & -5 & -1 & -2 & 1 & 0[3pt] 0 & 8 & 1 & 2 & 0 & 1 ]
2. Tornamos o pivô de R2 igual a 1: R2-tfrac15 R2, depois zeramos as outras entradas na coluna 2:
R1 R1-3R2, R3 R3-8R2.
[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac25 & -tfrac15 & tfrac35 & 0[3pt] 0 & 1 & tfrac15 & tfrac25 & -tfrac15 & 0[3pt] 0 & 0 & -tfrac35 & -tfrac65 & tfrac85 & 1 ] ]

Passo 4

Agora normalizamos o pivô de R3 e zeramos acima na coluna 3:
1. R3 -tfrac53R3
2. R1 R1-tfrac25R3, R2 R2-tfrac15R3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & tfrac53 & tfrac23[3pt] 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac13 & tfrac13[3pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -tfrac83 & -tfrac53 ]
Daí, a parte direita fica A^-1.]

Resposta

A matriz é invertível (pois det(A)=3neq0) e
A^-1 = -1 & tfrac53 & tfrac23 0 & tfrac13 & tfrac13 2 & -tfrac83 & -tfrac53

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