Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[llll1 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 4]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 4, que é triangular superior, e pede para verificar se ela é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^-1. O conteúdo usado será a propriedade de matrizes triangulares (invertibilidade depende dos elementos da diagonal) e o método de substituição retroativa para obter a inversa.

Passo 2

Uma matriz triangular superior é inversível se, e somente se, nenhum dos elementos da diagonal principal for zero. Aqui a diagonal de A é
1,;2,;3,;4
e o produto desses termos é det(A)=1cdot2cdot3cdot4=24neq0. Logo, A é inversível.

Passo 3

Para uma matriz triangular superior A, sua inversa B=A^-1 também será triangular superior. Assim:
bij=0sempre que i>j,
e para i=j vale
bii=1aii
Os elementos acima da diagonal se obtêm pela fórmula de substituição retroativa:
bij=-1aiisumk=i+1^jaik,bkj, i<j

Passo 4

Calculamos primeiro os bii:
b44=14=14, b33=13=13, b22=12=12, b11=11=1

Passo 5

Agora os elementos imediatamente acima da diagonal:
b34=-1a33l(a34,b44r) =-13l(4cdottfrac14r)=-13,
b23=-1a22l(a23,b33r) =-12l(3cdottfrac13r)=-12,
b12=-1a11l(a12,b22r) =-1cdotl(2cdottfrac12r)=-1

Passo 6

Finalmente, os demais acima-diagonal:
b24=-1a22l(a23,b34+a24,b44r) =-12l(3cdot(-tfrac13)+4cdottfrac14r) =-12l(-1+1r)=0,
b13=-1a11l(a12,b23+a13,b33r) =-1l(2cdot(-tfrac12)+3cdottfrac13r) =-1l(-1+1r)=0,
b14=-1a11l(a12,b24+a13,b34+a14,b44r) =-1l(2cdot0+3cdot(-tfrac13)+4cdottfrac14r) =-1l(-1+1r)=0

Resposta

A^-1= 1 & -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac13 & -tfrac13 0 & 0 & 0 & tfrac14

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