Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 4, que é triangular superior, e pede para verificar se ela é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^-1. O conteúdo usado será a propriedade de matrizes triangulares (invertibilidade depende dos elementos da diagonal) e o método de substituição retroativa para obter a inversa.
Passo 2
Uma matriz triangular superior é inversível se, e somente se, nenhum dos elementos da diagonal principal for zero. Aqui a diagonal de A é
1,;2,;3,;4
e o produto desses termos é det(A)=1cdot2cdot3cdot4=24neq0. Logo, A é inversível.
Passo 3
Para uma matriz triangular superior A, sua inversa B=A^-1 também será triangular superior. Assim:
bij=0sempre que i>j,
e para i=j vale
bii=1aii
Os elementos acima da diagonal se obtêm pela fórmula de substituição retroativa:
bij=-1aiisumk=i+1^jaik,bkj, i<j
Passo 4
Calculamos primeiro os bii:
b44=14=14, b33=13=13, b22=12=12, b11=11=1
Passo 5
Agora os elementos imediatamente acima da diagonal: