Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr2 & 0 & -1 & 8 3 & 8 & 6 & 0 1 & -7 & -5 & 0 0 & 7 & 5 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & -1 & 8 3 & 8 & 6 & 0 1 & -7 & -5 & 0 0 & 7 & 5 & 4
é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^-1. O método que vamos usar é eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada [Amid I].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, em seguida, normalizamos o pivô da primeira linha e eliminamos abaixo:
[cccc|cccc 2 &0 &-1 &8 &1 &0 &0 &0 3 &8 &6 &0 &0 &1 &0 &0 1 &-7 &-5 &0 &0 &0 &1 &0 0 &7 &5 &4 &0 &0 &0 &1 ] ;xrightarrowR1>=ts tfrac12R1,, R2>=ts R2-3R1,, R3>=ts R3-R1; [cccc|cccc 1 &0 &-tfrac12 &4 &tfrac12 &0 &0 &0 0 &8 &tfrac152 &-12 &-,tfrac32 &1 &0 &0 0 &-7 &-tfrac92 &-4 &-,tfrac12 &0 &1 &0 0 &7 &5 &4 &0 &0 &0 &1 ]

Passo 3

Agora normalizamos o pivô da segunda linha e eliminamos acima e abaixo na coluna 2:
[cccc|cccc 1 &0 &-tfrac12 &4 &tfrac12 &0 &0 &0 0 &8 &tfrac152 &-12 &-,tfrac32 &tfrac88 &0 &0 0 &-7 &-tfrac92 &-4 &-,tfrac12 &0 &1 &0 0 &7 &5 &4 &0 &0 &0 &1 ] ;xrightarrowR2>=ts tfrac18R2,, R3>=ts R3+7R2,, R4>=ts R4-7R2; [cccc|cccc 1 &0 &-tfrac12 &4 &tfrac12 &0 &0 &0 0 &1 &tfrac1516 &-tfrac32 &-,tfrac316 &tfrac18 &0 &0 0 &0 &tfrac3316 &-tfrac292 &-,tfrac2916 &tfrac78 &1 &0 0 &0 &-tfrac2516 &tfrac292 &tfrac2116 &-,tfrac78 &0 &1 ]

Passo 4

Em seguida normalizamos o pivô da terceira linha e eliminamos na coluna 3:
[cccc|cccc 1 &0 &-tfrac12 &4 &tfrac12 &0 &0 &0 0 &1 &tfrac1516 &-tfrac32 &-,tfrac316 &tfrac18 &0 &0 0 &0 &tfrac3316 &-tfrac292 &-,tfrac2916 &tfrac78 &1 &0 0 &0 &-tfrac2516 &tfrac292 &tfrac2116 &-,tfrac78 &0 &1 ) ;xrightarrowR3>=ts tfrac1633R3,, R1>=ts R1+tfrac12R3,, R2>=ts R2-tfrac1516R3,, R4>=ts R4+tfrac2516R3; [cccc|cccc 1 &0 &0 &tfrac1633 &tfrac233 &tfrac733 &tfrac833 &0 0 &1 &0 &tfrac5611 &tfrac711 &-,tfrac311 &-,tfrac511 &0 0 &0 &1 &-,tfrac23233 &-,tfrac2933 &tfrac1433 &tfrac1633 &0 0 &0 &0 &tfrac11633 &-,tfrac233 &-,tfrac733 &tfrac2533 &1 ]

Passo 5

Por fim normalizamos o pivô da quarta linha e eliminamos na coluna 4, chegando a [Imid A^-1]:
[cccc|cccc 1 &0 &0 &tfrac1633 &tfrac233 &tfrac733 &tfrac833 &0 0 &1 &0 &tfrac5611 &tfrac711 &-,tfrac311 &-,tfrac511 &0 0 &0 &1 &-,tfrac23233 &-,tfrac2933 &tfrac1433 &tfrac1633 &0 0 &0 &0 &tfrac11633 &-,tfrac233 &-,tfrac733 &tfrac2533 &1 ) ;xrightarrowR4>=ts tfrac33116R4,, Ri>=ts Ri-Ri4,R4;(i=1,2,3); [cccc|cccc 1 &0 &0 &0 &tfrac22319 &tfrac77319 &tfrac44319 &-,tfrac44319 0 &1 &0 &0 &tfrac231319 &tfrac11319 &-,tfrac495319 &-,tfrac462319 0 &0 &1 &0 &-1 &0 &2 &2 0 &0 &0 &1 &-,tfrac158 &-,tfrac7116 &tfrac25116 &tfrac33116 ]

Resposta

A matriz é inversível e
A^-1 = 22319 & 77319 & 44319 & -,44319[6pt] 231319 & 11319 & -,495319 & -,462319[6pt] -1 & 0 & 2 & 2[6pt] -,158 & -,7116 & 25116 & 33116 ]

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