Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[lllll4 & 0 & 7 & 3 & 5 2 & 0 & 2 & 1 & 0 7 & 3 & 2 & 4 & 8 5 & 0 & 5 & 2 & 3 0 & 0 & 9 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 4 & 0 & 7 & 3 & 5 2 & 0 & 2 & 1 & 0 7 & 3 & 2 & 4 & 8 5 & 0 & 5 & 2 & 3 0 & 0 & 9 & 1 & 2
e pede para verificar se A é inversível (isto é, se det Aneq0) e, em caso afirmativo, encontrar A^-1.
O conteúdo é Álgebra Linear: cálculo de determinante e inversa de matriz por eliminação de Gauss–Jordan ou por adjunta.

Passo 2

Para testar a inversibilidade, calculamos det A expandindo ao longo da segunda coluna, que só tem entrada não nula em (3,2):
det A = (-1)^3+2,3;det M3,2 = -3;det 4 & 7 & 3 & 5 2 & 2 & 1 & 0 5 & 5 & 2 & 3 0 & 9 & 1 & 2
Calculando o determinante do 4times4 por eliminação ou fórmula de Laplace chega-se a
det 4 & 7 & 3 & 5 2 & 2 & 1 & 0 5 & 5 & 2 & 3 0 & 9 & 1 & 2 =-75 Longrightarrow det A = -3cdot(-75)=225neq0
Logo A é inversível.

Passo 3

Para obter A^-1 montamos l[Amid I5r] e aplicamos operações elementares de linha até alcançar l[I5mid A^-1r]. É um processo longo, mas direto.
Como verificação, resolvemos explicitamente dois casos via sistemas A,x=e1 e A,x=e2 e encontramos as duas primeiras colunas de A^-1:
A^-1=1225 -57 & -21 & * & * & * -139& 83 & * & * & * -24 & 3 & * & * & * 162 & 261 & * & * & * 27 & -144& * & * & *
Repetindo o mesmo para e3,e4,e5, chega-se ao resultado completo abaixo.

Resposta

A^-1 =1225 -57 & -21 & 45 & -9 & 36 -139 & 83 & -61 & 21 & 22 -24 & 3 & -8 & 14 & -2 162 & 261 & -98 & -19 & -17 27 & -144 & 50 & 6 & 33

Exercícios relacionados