Questão 8 . Determine x e y de modo que se tenha
[ll y^3 & 3 x y^2 & 4 x ]+[ll -y & x^2 2 y & x^2 ]+[rr -1 & 1 2 & 2 ]=[cc 5 & 1 10 & -1 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três matrizes 2×2 que, somadas, devem dar outra matriz 2×2 já conhecida. A matéria aqui é “adição de matrizes” e “resolução de sistemas de equações” (no caso, é só igualar entrada a entrada e resolver polinômios). Para resolver isso, a gente vai precisar:
  1. Saber que soma de matrizes é feita posição a posição.
  2. Montar as equações igualando cada entrada ao valor correspondente da matriz resultado.
  3. Resolver essas equações algébricas (quadráticas e até uma cúbica) usando fatoração e teste de raízes inteiras.

Passo 2

Vamos somar as três matrizes posição a posição e igualar à matriz alvo.
As matrizes são
e a soma deve ser
Somando entrada a entrada:
  1. (1,1):
  2. (1,2):
  3. (2,1):
  4. (2,2):
Ou seja, temos o sistema
Agora é só resolver essas equações.

Passo 3

Primeiro focamos em x, usando as equações (1,2) e (2,2):
(1,2) 3x + x^2 + 1 = 1;Rightarrow;x^2 +3x = 0;Rightarrow;x(x+3)=0;Rightarrow;x=0;ou;x=-3
(2,2) 4x + x^2 + 2 = -1;Rightarrow;x^2 +4x +3=0;Rightarrow;(x+1)(x+3)=0;Rightarrow;x=-1;ou;x=-3
Para satisfazer ambas, só sobra x=-3.

Passo 4

Agora resolvemos para y, com as equações (2,1) e (1,1):
(2,1) y^2+2y+2=10;Rightarrow;y^2+2y-8=0;Rightarrow;(y+4)(y-2)=0;Rightarrow;y=-4;ou;y=2
(1,1) y^3 - y -1 = 5;Rightarrow;y^3 - y -6=0
Teste de raízes inteiras (divisores de 6):
  • Se y=2: 2^3-2-6=8-2-6=0 → funciona.
  • Se y=-4: (-4)^3-(-4)-6=-64+4-6=-66neq0 → não funciona.
    Logo y=2.

Resposta

x = -3, y = 2

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